中２数学「確率の求め方」カード・くじ・サイコロ・コイン

中２数学のカードの確率の練習問題です。さいころ、コイン（硬貨）、くじ、カードといわゆる確率の4大パターンですね。よく問題の条件を読み、確率を求めていきましょう。

カードの確率の求め方

大きく4つのパターンがあります。順番が関係する（数字をつくる）＝「順列」、順番が関係ない（数字をつくらない）＝「組み合わせ」に注視しましょう。

「1回戻し｣＋「数字を作る」

1から5までの数字を書いたカ－ドが1枚ずつある。これらをよくきってから1枚取り出し、その番号を確かめたのち、1度戻す。それから、もう一度よくきり、もう1枚取り出す。1回目に取り出した数を十の位、2回目に取り出した数を一の位とするとき、できた整数が3の倍数になる確率を求めよ。

• 場合の数は25通りで、できた整数が3の倍数になるのは、10通りなので、2/5となる。

「1回戻し」＋「数字は作らない」

1から5までの数字を書いたカ－ドが1枚ずつある。これらをよくきってから1枚取り出し、その番号を確かめたのち、1度戻す。それから、もう一度よくきり、もう1枚取り出す。このとき、2つの和が5である確率を求めよ。

• 場合の数は25通りで、2つの和が5になるのは、4通りなので、4/25となる。

「同時または続けて」＋「数字を作る」

1から5までの数字を書いたカ－ドが1枚ずつある。これらをよくきってから2枚同時に取り出してならべて2けたの整数をつくるとき、できた整数が3の倍数である確率を求めよ。

• 場合の数は20通りで、できた整数が3の倍数であるのは、8通りなので、2/5となる。

「同時または続けて」＋「数字を作らない」

1から5までの数字を書いたカ－ドが1枚ずつある。これらをよくきってから2枚取り出す。そのとき、2つの和が5である確率を求めよ。

• 場合の数は、10通りで、2つの和が5であるのは2通りなので、1/5となる。

カードの確率の練習問題

次の問いに答えなさい。

1. １から４までの４つの数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。このうち２枚を取り出して、２けたの数を作るとき２けたの整数が偶数になる確率を求めよ。
2. １から４までの４つの数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。このうち２枚を取り出して、２けたの数を作るとき２けたの整数が30 より小さい確率を求めよ。
3. １から４までの４つの数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。このうち２枚を取り出して、２けたの数を作るとき２けたの数が４の倍数になる確率を求めよ。
4. １から４までの４つの数字が書かれたカードがそれぞれ１枚ずつある。このうち２枚を取り出して、２けたの数を作るとき２けたの数が３の倍数になる確率を求めよ。
5. ２，４，５，７，９の５枚のカードから２枚を引くとき２枚の数の和が11になる確率を求めよ。
6. ２，４，５，７，９の５枚のカードから２枚を引くとき２枚の数の積が偶数になる確率を求めよ。
7. ２，４，５，７，９の５枚のカードから２枚を引くとき２枚の数の和が偶数になる確率を求めよ。
8. ２，４，５，７，９の５枚のカードから２枚を引くとき２枚の数の和が10以下になる確率を求めよ。
9. ０、１、２、３、４、５の数字が１つずつ書かれた６枚のカ－ドから、同時に２枚を取り出すとき、取り出した２枚のカ－ドに書かれている数の積が０となる確率を求めよ。
10. １から６までの数字が１つずつ書かれた６個のボールが袋の中に入っている。袋からボールを一度に２個取り出すとき、書かれた数の和が８である確率を求めよ。

●解答

1. 1/2
2. 1/2
3. 1/4
4. 1/3
5. 1/5
6. 7/10
7. 2/5
8. 2/5
9. 1/3
10. 2/15

くじの確率の求め方

樹形図が基本でしょう。その際には、「辞書的に配列して行う」とわかりやすいと思います。たとえば以下のようになります。5本のうち、2本があたりのくじがある。ときたら、あたりくじ　ａ，ｂ　はずれくじ　ｃ，ｄ，ｅとアルファベット（辞書的）に配列して樹形図を書く。

2本の当たりをa,bとし、残りをc,d,e,fとする。そうすると樹形図は、

1本だけ当たりは、a-c a-d a-e a-f b-c b-d b-e b-fの8通り

上の樹形図より、場合の数は、15通りで、1本だけ当たりであるのは8通りなので、8/15となる。

くじの確率の練習問題

次の問いに答えよ。

1. 当たりが２本、はずれが３本入っているくじがある。このくじを同時に２本ひくとき、２本とも当たりである確率を求めよ。
2. 当たりが２本、はずれが３本入っているくじがある。２本ともはずれである確率を求めよ。
3. 当たりが２本、はずれが３本入っているくじがある。少なくとも１本は当たりである確率を求めよ。
4. 当たりが３本、はずれが２本入っているくじがある。このくじを同時に２本ひくとき、２本とも当たりである確率を求めよ。
5. 当たりが３本、はずれが２本入っているくじがある。このくじを同時に２本ひくとき少なくとも１本は当たりである確率を求めよ。
6. ６本中に当たりが３本入っているくじがある。このくじをまずＡが引いて次にＢが引くとき、Ａが当たる確率を求めよ。
7. ６本中に当たりが３本入っているくじがある。このくじをまずＡが引いて次にＢが引くとき、ＡがはずれてＢが当たる確率を求めなさい。
8. ６本中に当たりが３本入っているくじがある。このくじをまずＡが引いて次にＢが引くとき、ＡもＢも当たる確率を求めなさい。
9. ６本のうち、2本の当たりが入っているくじがある。この６本のくじの中から、同時に２本のくじをひくとき、１本だけ当たりである確率を求めよ。
10. ２本の当たりくじが入っている５本のくじがある。このくじを，先にAさんが１本引き，これをもどさずに，次にBさんが１本引くとき，AさんとBさんのうち，どちらか１人が当たりくじを引く確率を求めよ。

●解答

1. 1/10
2. 3/10
3. 7/10
4. 3/10
5. 9/10
6. 1/2
7. 3/10
8. 1/5
9. 8/15
10. 3/15

サイコロの確率の求め方

2つのサイコロを投げて求める確率や、1つのサイコロを連続2回の確率の問題では、『表』を利用して、該当するところにチェックを入れて解いていくのが一般的です。もちろん、樹形図を利用して解いてもかまいません。

サイコロの場合の数

サイコロをn回振ったときの場合の数は、6^ｎとなります。たとえば、サイコロを3回降ると、6³＝6×6×6＝216通りとなります。

ことがらAの起こらない確率

ことがらAの起こる確率をPとすると、Aの起こらない確率＝1-P

●例題
2つのさいころを同時に投げるとき、次の確率をもとめなさい。

1. 出る目の数の和が10になる確率。
2. 出る目の数の和が10以上になる確率
3. 出る目の数の和だ10以上にならない確率

●解説・解答
2つのさいころを、A,Bとすると、目の出方は6×6＝36通り。

1. 表を使って、出る目の和が10になるところを印をいれていくと、3通りある。よって、3/36＝1/12が答えとなります。
2. 表を使って、出る目の和が10以上にになるところを印をいれていくと、6通りある。よって、6/36＝1/6が答えとなります。
3. 2の答えを利用して、（10以上になる確率）+（10以上にならない確率）＝1なので、1-1/6＝5/6が答えとなります。

サイコロの確率の練習問題

次の問いに答えよ。

1. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の数が同じになる確率を求めよ。
2. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の和が４になる確率を求めよ。
3. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の積が６になる確率を求めよ。
4. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の和が３の倍数になる確率を求めよ。
5. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の積が奇数になる確率を求めよ。
6. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の和が13 になる確率を求めよ。
7. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、出る目の和が7 になる確率を求めよ。
8. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、a-b＝1となる確率を求めよ。
9. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、aとbの差が2となる確率を求めよ。
10. ２個のサイコロa，b を同時に投げるとき、2a＝bとなる確率を求めよ。

●解答

1. 1/6
2. 1/12
3. 1/9
4. 1/3
5. 1/4
6. 0
7. 1/6
8. 5/36
9. 2/9
10. 1/12

コイン・硬貨の確率の求め方

コイン・硬貨の確率は、『樹形図』を用いて解いていくのが一般的です。

たとえば、2つのコインは、4通り　　3つのコインの場合は、8通りとなる。

コイン・硬貨の場合の数

樹形図を書いていくとわかりますが、コイン・硬貨の場合の数は、n回投げるとき、n²となります。4回投げると、24＝16通りとなります。

●コイン・硬貨の確率の例題
3枚のコイン（硬貨）を同時に投げる時、2枚が表で、1枚が裏の出る確率を求めよ。

●解説・解答

樹形図より、場合の数は、8通りで、2枚が表で、1枚が裏となるのは3通りなので、答えは、3/8となります。

コイン・硬貨の確率の練習問題

次の問いに答えよ。

1. ２枚のコインを同時に投げるとき、２枚とも表になる確率を求めよ。
2. ２枚のコインを同時に投げるとき、２枚とも裏になる確率を求めよ。
3. ２枚のコインを同時に投げるとき、１枚が裏になる確率を求めよ。
4. ２枚のコインを同時に投げるとき、少なくとも１枚が裏になる確率を求めよ。
5. ３枚の硬貨を同時に投げるとき、３枚とも表になる確率を求めよ。
6. ３枚の硬貨を同時に投げるとき、３枚とも裏になる確率を求めなさい。
7. ３枚の硬貨を同時に投げるとき、１枚が表になる確率を求めなさい。
8. ３枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも１枚が表になる確率を求めなさい。
9. ４枚の硬貨を同時に投げるとき、４枚とも表になる確率を求めよ。
10. ４枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも１枚が表になる確率を求めなさい。

●解答

1. 1/4
2. 1/4
3. 1/2
4. 3/4
5. 1/8
6. 1/8
7. 3/8
8. 7/8
9. 1/16
10. 15/16