中2数学「確率の求め方」カード・くじ・サイコロ・コイン

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中2数学のカードの確率の練習問題です。さいころ、コイン(硬貨)、くじ、カードといわゆる確率の4大パターンですね。よく問題の条件を読み、確率を求めていきましょう。

カードの確率の求め方

大きく4つのパターンがあります。順番が関係する(数字をつくる)=「順列」、順番が関係ない(数字をつくらない)=「組み合わせ」に注視しましょう。

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「1回戻し」+「数字を作る」

1から5までの数字を書いたカ-ドが1枚ずつある。これらをよくきってから1枚取り出し、その番号を確かめたのち、1度戻す。それから、もう一度よくきり、もう1枚取り出す。1回目に取り出した数を十の位、2回目に取り出した数を一の位とするとき、できた整数が3の倍数になる確率を求めよ。

  • 場合の数は25通りで、できた整数が3の倍数になるのは、10通りなので、2/5となる。

「1回戻し」+「数字は作らない」

1から5までの数字を書いたカ-ドが1枚ずつある。これらをよくきってから1枚取り出し、その番号を確かめたのち、1度戻す。それから、もう一度よくきり、もう1枚取り出す。このとき、2つの和が5である確率を求めよ。

  • 場合の数は25通りで、2つの和が5になるのは、4通りなので、4/25となる。

「同時または続けて」+「数字を作る」

1から5までの数字を書いたカ-ドが1枚ずつある。これらをよくきってから2枚同時に取り出してならべて2けたの整数をつくるとき、できた整数が3の倍数である確率を求めよ。

  • 場合の数は20通りで、できた整数が3の倍数であるのは、8通りなので、2/5となる。

「同時または続けて」+「数字を作らない」

1から5までの数字を書いたカ-ドが1枚ずつある。これらをよくきってから2枚取り出す。そのとき、2つの和が5である確率を求めよ。

  • 場合の数は、10通りで、2つの和が5であるのは2通りなので、1/5となる。

カードの確率の練習問題

次の問いに答えなさい。

  1. 1から4までの4つの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。このうち2枚を取り出して、2けたの数を作るとき2けたの整数が偶数になる確率を求めよ。
  2. 1から4までの4つの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。このうち2枚を取り出して、2けたの数を作るとき2けたの整数が30 より小さい確率を求めよ。
  3. 1から4までの4つの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。このうち2枚を取り出して、2けたの数を作るとき2けたの数が4の倍数になる確率を求めよ。
  4. 1から4までの4つの数字が書かれたカードがそれぞれ1枚ずつある。このうち2枚を取り出して、2けたの数を作るとき2けたの数が3の倍数になる確率を求めよ。
  5. 2,4,5,7,9の5枚のカードから2枚を引くとき2枚の数の和が11になる確率を求めよ。
  6. 2,4,5,7,9の5枚のカードから2枚を引くとき2枚の数の積が偶数になる確率を求めよ。
  7. 2,4,5,7,9の5枚のカードから2枚を引くとき2枚の数の和が偶数になる確率を求めよ。
  8. 2,4,5,7,9の5枚のカードから2枚を引くとき2枚の数の和が10以下になる確率を求めよ。
  9. 0、1、2、3、4、5の数字が1つずつ書かれた6枚のカ-ドから、同時に2枚を取り出すとき、取り出した2枚のカ-ドに書かれている数の積が0となる確率を求めよ。
  10. 1から6までの数字が1つずつ書かれた6個のボールが袋の中に入っている。袋からボールを一度に2個取り出すとき、書かれた数の和が8である確率を求めよ。

●解答

  1. 1/2
  2. 1/2
  3. 1/4
  4. 1/3
  5. 1/5
  6. 7/10
  7. 2/5
  8. 2/5
  9. 1/3
  10. 2/15

くじの確率の求め方

樹形図が基本でしょう。その際には、「辞書的に配列して行う」とわかりやすいと思います。たとえば以下のようになります。5本のうち、2本があたりのくじがある。ときたら、あたりくじ a,b はずれくじ c,d,eとアルファベット(辞書的)に配列して樹形図を書く。

2本の当たりをa,bとし、残りをc,d,e,fとする。そうすると樹形図は、

くじ
1本だけ当たりは、a-c a-d a-e a-f b-c b-d b-e b-fの8通り

上の樹形図より、場合の数は、15通りで、1本だけ当たりであるのは8通りなので、8/15となる。

くじの確率の練習問題

次の問いに答えよ。

  1. 当たりが2本、はずれが3本入っているくじがある。このくじを同時に2本ひくとき、2本とも当たりである確率を求めよ。
  2. 当たりが2本、はずれが3本入っているくじがある。2本ともはずれである確率を求めよ。
  3. 当たりが2本、はずれが3本入っているくじがある。少なくとも1本は当たりである確率を求めよ。
  4. 当たりが3本、はずれが2本入っているくじがある。このくじを同時に2本ひくとき、2本とも当たりである確率を求めよ。
  5. 当たりが3本、はずれが2本入っているくじがある。このくじを同時に2本ひくとき少なくとも1本は当たりである確率を求めよ。
  6. 6本中に当たりが3本入っているくじがある。このくじをまずAが引いて次にBが引くとき、Aが当たる確率を求めよ。
  7. 6本中に当たりが3本入っているくじがある。このくじをまずAが引いて次にBが引くとき、AがはずれてBが当たる確率を求めなさい。
  8. 6本中に当たりが3本入っているくじがある。このくじをまずAが引いて次にBが引くとき、AもBも当たる確率を求めなさい。
  9. 6本のうち、2本の当たりが入っているくじがある。この6本のくじの中から、同時に2本のくじをひくとき、1本だけ当たりである確率を求めよ。
  10. 2本の当たりくじが入っている5本のくじがある。このくじを,先にAさんが1本引き,これをもどさずに,次にBさんが1本引くとき,AさんとBさんのうち,どちらか1人が当たりくじを引く確率を求めよ。

●解答

  1. 1/10
  2. 3/10
  3. 7/10
  4. 3/10
  5. 9/10
  6. 1/2
  7. 3/10
  8. 1/5
  9. 8/15
  10. 3/15

サイコロの確率の求め方

2つのサイコロを投げて求める確率や、1つのサイコロを連続2回の確率の問題では、『表』を利用して、該当するところにチェックを入れて解いていくのが一般的です。もちろん、樹形図を利用して解いてもかまいません。
さいころ

サイコロの場合の数

サイコロをn回振ったときの場合の数は、6となります。たとえば、サイコロを3回降ると、63=6×6×6=216通りとなります。

ことがらAの起こらない確率

ことがらAの起こる確率をPとすると、Aの起こらない確率=1-P

●例題
2つのさいころを同時に投げるとき、次の確率をもとめなさい。

  1. 出る目の数の和が10になる確率。
  2. 出る目の数の和が10以上になる確率
  3. 出る目の数の和だ10以上にならない確率

●解説・解答
2つのさいころを、A,Bとすると、目の出方は6×6=36通り。

  1. 表を使って、出る目の和が10になるところを印をいれていくと、3通りある。よって、3/36=1/12が答えとなります。
  2. 表を使って、出る目の和が10以上にになるところを印をいれていくと、6通りある。よって、6/36=1/6が答えとなります。
  3. 2の答えを利用して、(10以上になる確率)+(10以上にならない確率)=1なので、1-1/6=5/6が答えとなります。

サイコロの確率の練習問題

次の問いに答えよ。

  1. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の数が同じになる確率を求めよ。
  2. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の和が4になる確率を求めよ。
  3. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の積が6になる確率を求めよ。
  4. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の和が3の倍数になる確率を求めよ。
  5. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の積が奇数になる確率を求めよ。
  6. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の和が13 になる確率を求めよ。
  7. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、出る目の和が7 になる確率を求めよ。
  8. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、a-b=1となる確率を求めよ。
  9. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、aとbの差が2となる確率を求めよ。
  10. 2個のサイコロa,b を同時に投げるとき、2a=bとなる確率を求めよ。

●解答

  1. 1/6
  2. 1/12
  3. 1/9
  4. 1/3
  5. 1/4
  6. 0
  7. 1/6
  8. 5/36
  9. 2/9
  10. 1/12

コイン・硬貨の確率の求め方

コイン・硬貨の確率は、『樹形図』を用いて解いていくのが一般的です。
硬貨

たとえば、2つのコインは、4通り  3つのコインの場合は、8通りとなる。

コイン・硬貨の場合の数

樹形図を書いていくとわかりますが、コイン・硬貨の場合の数は、n回投げるとき、n2となります。4回投げると、24=16通りとなります。

●コイン・硬貨の確率の例題
3枚のコイン(硬貨)を同時に投げる時、2枚が表で、1枚が裏の出る確率を求めよ。

●解説・解答
硬貨
樹形図より、場合の数は、8通りで、2枚が表で、1枚が裏となるのは3通りなので、答えは、3/8となります。

コイン・硬貨の確率の練習問題

次の問いに答えよ。

  1. 2枚のコインを同時に投げるとき、2枚とも表になる確率を求めよ。
  2. 2枚のコインを同時に投げるとき、2枚とも裏になる確率を求めよ。
  3. 2枚のコインを同時に投げるとき、1枚が裏になる確率を求めよ。
  4. 2枚のコインを同時に投げるとき、少なくとも1枚が裏になる確率を求めよ。
  5. 3枚の硬貨を同時に投げるとき、3枚とも表になる確率を求めよ。
  6. 3枚の硬貨を同時に投げるとき、3枚とも裏になる確率を求めなさい。
  7. 3枚の硬貨を同時に投げるとき、1枚が表になる確率を求めなさい。
  8. 3枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率を求めなさい。
  9. 4枚の硬貨を同時に投げるとき、4枚とも表になる確率を求めよ。
  10. 4枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚が表になる確率を求めなさい。

●解答

  1. 1/4
  2. 1/4
  3. 1/2
  4. 3/4
  5. 1/8
  6. 1/8
  7. 3/8
  8. 7/8
  9. 1/16
  10. 15/16
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