中学数学「共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題」

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中学数学「共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題」です。高校入試や実力テストでは、よく出る相似の証明の出題パターンとなります。しっかり、「共通する円周角の大きさは等しい」という性質を使って、証明していきましょう。

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題1

共通する弧の円周角と相似1
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。

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解答1

△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題2

共通する弧の円周角と相似2
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。

解答2

△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題3

共通する弧の円周角と相似3
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。

解答3

△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE

確認中3数学「円周角の定理」

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