【高校準備（数Ⅰ）】2次方程式の判別式

【高校準備（数Ⅰ）】2次方程式の判別式です。

2次方程式の判別式の対策問題

問1　次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。
（1）x²+5x-2=0
（2）x²+x+1=0

問2　2次方程式x²-mx-m+8=0が重解をもつとき、定数mの値を求めよ。

問3　2次方程式x²-2x+m=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。

問4　正方形の土地がある。この土地の縦の長さを3m、横の長さを6m長くすると、元の面積の3倍になった。元の土地の面積を求めよ。

2次方程式の実数解の個数を調べるときは、判別式を使う。判別式とは、二次式の多項式 ax²+bx+cに対して、b²-4acのことです。判別式は英語で、「discriminant」となるので、今後、判別式はDの記号を用います。D>0で実数解は2個、D=0で実数解は1個（重解）、D<0で実数解はなし。

問1　次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。
（1）x²+5x-2=0
2次方程式の判別式D＝33>0より、
2個

（2）x²+x+1=0
2次方程式の判別式D＝-3<0より、
0個

問2　2次方程式x²-mx-m+8=0が重解をもつとき、定数mの値を求めよ。
重解をもつのは、2次方程式の判別式D＝0より
D=(-m)²-4・1・（-m+8)=0
m²-4m-32＝0
(m+8)(m-4)=0
m=-8,4

問3　2次方程式x²-2x+m=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。
異なる実数解をもつのは、2次方程式の判別式D>0より
D=(-2)²-4・1・m>0
4-4m>0
-4m>-4より
m<1

問4　正方形の土地がある。この土地の縦の長さを3m、横の長さを6m長くすると、元の面積の3倍になった。元の土地の面積を求めよ。

元の土地の1辺の長さをxmとする。

縦を3m、横を6m長くすると、土地の面積は(x+3)(x+6)
題意より、(x+3)(x+6)=3x²
これを解くと、x=-3/2、6
x>0であるから、x=6

よって、元の土地の面積は36m²となる。