高校入試対策・数学「平面図形総合1(相似の証明・円周角・特別な直角三角形)」

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高校入試対策・数学の平面図形総合で相似証明・円・特別な直角三角形を含む問題の構成となっています。それぞれの小問には、ポイントがあるので、しっかり習得していきましょう。ポイントの意味さえわからないときや練習をさらに積んだほうがいい場合には、その単元に戻って復習しましょう。

平面図形総合1(相似の証明・円周角性質・特別な直角三角形)

下の図のように、点Oを中心とし、線分ABを直径とする半径5cmの半円がある。弧AB上に、2点C,Dをとり、直線ACと直線BDの交点をEとする。また、線分ADと線分BCの交点をFとする。このとき、∠ABC=15°、∠AEB=45°である。次の問いに答えよ。
平面図形総合

  1. △EAD∽△EBCを証明せよ。
  2. ∠AFBは何度か、求めよ。
  3. 弧ACと弧DBの長さの比を、最も簡単な整数の比で表せ。
  4. △ABEの面積を求めよ。
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解説・解答

(1)△EADと△EBCにおいて
∠EDA=∠ECB=90°(直径の円周角)…①
∠AED=∠BEC(共通な角)…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので△EAD∽△EBC

(2)△ACEが、直角二等辺三角形のことから∠EAD=45°。直角三角形ADFの外角の定理(通称:スリッパの定理)より、135°
円周角

(3)弧の長さの比=円周角の比(円周角は、弧の長さに比例する。)図示より、弧ACの円周角=15°、弧DBの円周角=30°より弧ACと弧DBの長さの比=1:2

(4)△ABEの面積=△ADE+△ABDとなる。△ABDで、問題より、辺AB=10cm、特別な直角三角形(1:2:√3 )を利用して、
解説

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