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中学数学「三平方の定理の練習問題」定期テスト対策・典型問題を解こう

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中学数学「三平方の定理の練習問題」定期テスト対策・典型問題を解こうです。

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三平方の定理の練習問題一覧

・直角三角形の3辺の関係
・三平方の定理の逆
・特別な角をもつ直角三角形
・正三角形の高さと面積
・弦の長さ
・2点間の距離
・直方体の対角線
・正四角錐の高さと体積
などから構成しています。

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直角三角形の3辺の関係

次の図の直角三角形で、xの値を求めなさい。
三平方の定理(辺の長さ)問題

直角三角形の3辺の関係の解答

■三平方の定理
直角三角形において
斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和

(1)x=5
(2)x=2√2
(3)x=3√2
(4)x=4√3

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三平方の定理の逆

次の長さを3辺とするア~ウの三角形のうち、直角三角形はどれですか。
ア 1cm、3cm、√13cm
イ 3cm、6cm、8cm
ウ 12cm、16cm、20cm

三平方の定理の逆の解答

■三平方の定理の逆
三角形の3辺において、a2+b2=c2が成り立つと直角三角形になる。

次の長さを3辺とするア~ウの三角形のうち、直角三角形はどれですか。
ア 1cm、3cm、√13cm
12+32=10  (√13)2=13 直角三角形でない。

イ 3cm、6cm、8cm
32+62=45 82=64 直角三角形でない。

ウ 12cm、16cm、20cm
122+162=400 202=400 直角三角形である。

(答え)ウ

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特別な角をもつ直角三角形

下の図で、xの値を求めなさい。※(4)は1辺18の正方形
特別な角をもつ直角三角形の問題

特別な角をもつ直角三角形の解答

■特別な角をもつ直角三角形
特別な角をもつ直角三角形(例)
・30°、60°、90°の三角形の3辺の長さの比は、1:2:√3であることを利用する。
・直角二等辺三角形の3辺の長さの比は、1:1:√2であることを利用する。

(1)4√3
(2)8√2
(3)40√3/3
(4)9√2

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正三角形の高さと面積

1辺の長さが8cmの正三角形の高さと面積を求めなさい。

正三角形の高さと面積の解答

正三角形の高さと面積の問題

頂点Aから辺BCに垂線AHをひく。このときHはBCの中点になり
BH=4cm

△ABHで三平方の定理より
AH2+BH2=AB2
AH2+42=82
AH2=48
AH>0より
AH=4√3
したがって高さは4√3cm

面積は
1/2×8×4√3=16√3cm2

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弦の長さ

半径6cmの円Oで、中心Oからの距離が5cmである弦の長さを求めなさい。
弦の長さ問題

弦の長さの解答

弦の長さ解説
円の中心から5cmの距離にある弦をABとし、中心Oから弦ABに垂線OHを引く。
このとき、△OABはOA=OBに二等辺三角形になる。
Hは弦ABの中点、△OAHは直角三角形。
また、OA=6cm、OH=5cm、AH=xcmとする、
x2+52=62
x2=11
x=±√11
x>0だから
x=√11
AB=2√11cm
したがって、弦の長さは2√11cm

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2点間の距離

次の座標A(1,2)、B(-4,-2)をもつ2点間の距離を求めなさい。
2点間の距離問題

2点間の距離の解答

2点間の距離解説
2点A,Bを結ぶ線分を斜辺とする直角三角形を考え、
三平方の定理を利用して求める。
上の図で
AC=2-(-2)=4
BC=1-(-4)=5
よって、AB2=42+52=41
AB=√41

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直方体の対角線

図のように、DH=2cm,HG=3cm,FG=5cmの直方体である。このとき、直方体の対角線DFの長さを求めよ。
直方体の対角線問題

直方体の対角線の解答

直方体の対角線解説
線分DFを1辺とする直角三角形を見つけます。
△DHFは∠DHFが直角、DFを斜辺とする直角三角形である。
よって、DF2=DH2+HF2…①
また、HF2=FG2+HG2…②
①②から、DF2=DH2+FG2+FG2=22+52+32=38
したがって、DF=√38cm

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正四角錐の高さと体積

図のように、正四角錐OABCDがある。底面ABCDは、1辺の長さが6cmの正方形で、他の辺の長さはすべて8cmである。この正四角錐の高さと体積を求めなさい。
正四角錐の高さと体積問題

正四角錐の高さと体積の解答

正四角錐の高さと体積解説
図で、OH2=OA2-AH2 OA=8cm
AH=1/3AC=1/2×√2AB=1/2×√2×6=3√2cm
OH2=82-(3√2)2=64-18=46
OH=√46より
高さは√46cm

角錐の体積=1/3×底面積×高さだから、
体積は1/3×62×√46
=12√16cm3

中学数学
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ダイスト

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