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中学数学「相似な図形の練習問題」定期テスト対策・典型問題を解こう

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中学数学「相似な図形の練習問題」です。定期テスト対策として、典型問題を解いて備えよう。

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相似な図形の練習問題の一覧

・三角形の相似条件と証明< ・平行線と線分の比 ・線分の比と相似比 ・中点連結定理 ・相似な図形の面積 ・相似な立体の表面積・体積 などから構成しています。

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三角形の相似条件と証明

相似な図形
図で、∠A=∠D、∠C=∠Fが等しいとき、△ABCと△DEFが相似であることを証明せよ。

三角形の相似条件と証明の解答

△ABCと△DEFにおいて
∠BAC=∠EDF(仮定)…①
∠BCA=∠EFD(仮定)…②

①②より、2組の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABC∽△DEFとなります。

■三角形の相似条件

  • 3組の辺の比がすべて等しい。
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
  • 2組の角がそれぞれ等しい。
■理由になりうるもの

  • 仮定より
  • 共通だから
  • 対頂角だから
  • ℓ//mで錯角が等しいから
  • ℓ//mで同位角が等しいから
  • 弧ABの円周角だから
  • 中点連結定理より

などがあります。しっかり、問題を文を読んで、上記の(理由)になりえないか探しましょう。また、相似の証明では、「2組の角がそれぞれ等しい。」の条件にならないかを探り、証明していくのが王道です。それが該当しないとき、辺の長さや辺の比から、他の条件を探っていきます。

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平行線と線分の比

次の図を見て、問いに答えなさい。

(1)AD=8、AB=12、DE=6、DE//BCのとき、BCの値を求めよ。
(2)AD=6、AB=9、AC=12、DE//BCのとき、AEの値を求めよ。
(3)AB=18、DE=3、BC=9、DE//BCのとき、BDの値を求めよ。
(4)AD=10、DE=3、BC=9、DE//BCのとき、BDの値を求めよ。

次の図を見て、問いに答えなさい。

(5)DE=6、BC=9、DA=4、DE//BCのとき、ACの値を求めよ。
(6)AE=9、AB=15、DA=6、DE//BCのとき、ACの値を求めよ。
(7)次の図で、DE=9、BC=15、AE=6、DE//BCのとき、ABの値を求めよ。

次の図を見て、問いに答えなさい。

(8)AD=4、DB=8、AE=5、DE//BCのとき、CEの値を求めよ。
(9)AD=3、DB=7、AC=20、DE//BCのとき、CEの値を求めよ。
(10)BC=8 、D、Eがそれぞれ辺AB、辺ACの中点であるとき、DEの値を求めよ。

平行線と線分の比の解答

■相似の三角形の線分比の求め方

  1. 相似の組を見つけ出す。「帽子型」と「砂時計型」が中心。
  2. 対応する辺に気をつけて、比例式を完成。
  3. それを解く。普通、簡単な整数比で表すので、小数や分数の場合は、両方の倍数をかけるなどして整理する。
  1. 9
  2. 8
  3. 12
  4. 20
  5. 6
  6. 9
  7. 9
  8. 10
  9. 14
  10. 4
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線分の比と相似比

【問1】
相似な図形
図は、△ABC∽△DEFでAB=4、DE=8です。

(1)相似比を求めなさい。
(2)辺ACの長さを求めなさい。

【問2】
相似な図形
図において、△ABC∽△DEFのとき、AB=6、AC=5、DE=12のとき、辺DFの長さを求めなさい。

線分の比と相似比の解答

【問1】
(1)相似比を表すと
AB:DE=4:8
=1:2

(2)辺ACの長さを求めると
AC=xとして、
2:1=6:x
2x=6
x=3

したがって、AC=3となります。

【問2】
相似比は6:12=1:2だから、DF=xとすると
1:2=5:x
x=10
よって、DF=10となります。

■相似な図形
1つの図形を、形を変えずに拡大または縮小して得られる図形は、もとの図形と相似であるといい、記号∽を使って表します。

相似な図形

図では、△ABCと、その各辺を2倍に拡大した△DEFがあります。

2つの三角形が相似であることを記号∽を使って表すと
△ABC∽△DEFとなります。(対応させる必要があります。)

辺ABと辺DEの長さの関係は、
DE=2AB(もし、3倍に拡大されたものであるのなら、DE=3AB)

∠Aと∠Dの大きさの関係は
∠A=∠D

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中点連結定理

【問1】次の図の△ABCで、点D,E,Fは、それぞれ辺AB、BC、CAの中点です。辺DEFの周の長さを求めなさい。
中点連結定理問題1

【問2】次の図の△ABCで、辺BCの中点をD、辺CAを3等分する点E,Fとし、ADとBFの交点をGとするとき、次の問いに答えなさい。
中点連結定理問題2
(1)DEの長さを求めなさい。
(2)BGの長さを求めなさい。

中点連結定理の解答

【問1】
DF=1/2BC=5.5cm
DE=1/2AC=6cm
EF=1/2BA=5cm
よって、辺DEFの周の長さは
5.5+6+5+=16.5cm

(答え)16.5cm

【問2】
(1)△CBFで中点連結定理を使う。
(答え)5cm

(2)△ADEで中点連結定理を使い、BF-GFでBGの長さを求める。
(答え)7.5cm

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相似な図形の面積

【問1】次の図について、次の問いに答えなさい。
相似な図形の面積比問題1
(1)△ABCと△DBEの相似比を求めなさい。
(2)△ABCと△DBEの周の長さの比を求めなさい。
(3)△ABCと△DBEの面積比を求めなさい。

【問2】次の図で、四角形ABCDと四角形EBGFはいずれも正方形で、PとQの面積比は、4:5です。これについて、次の問いに答えなさい。
相似な図形の面積比問題2
(1)Qの面積を求めなさい。
(2)GCの長さを求めなさい。

相似な図形の面積の解答

相似比がa:bならば
・周の長さの比はa:b
・面積の比はa2:b2

【問1】
(1)2:1
(2)2:1
(3)4:1

【問2】
(1)20cm2
(2)2cm

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相似な立体の表面積・体積

【問1】図のように、相似な2つに四角柱P,Qがあって、PとQの相似比は4:3である。このとき次の問いに答えなさい。
相似な立体の表面積・体積問題1
(1)Qの表面積が135cm2のとき、Pの表面積を求めなさい。
(2)Pの体積が192cm3のとき、Qの体積を求めなさい。

【問2】図のような円錐を、母線OAを3等分する点B,Cを通り、底面に平行な平面で切って、3つの立体P,Q,Rに分けるとき、次の問いに答えなさい。
相似な立体の表面積・体積問題2
(1)立体Pと立体Qの側面積の比を求めなさい。
(2)OH=18cm,AH=6cmとするとき、立体Rの体積を求めなさい。

相似な立体の表面積・体積の解答

相似比がa:bならば
・表面積の比はa2:b2
・体積の比はa3:b3

【問1】
(1)16:9=x:135
9x=2160
x=240

(答え)240cm2

(2)64:27=192:x
64x=5184
x=81

(答え)81cm3

【問2】
(1)1:4

(2)
立体の体積
=1/3×36×18
=216

求める体積R
=216×19/27
=152

(答え)152cm3

中学数学
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