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中3数学「二次関数の定期対策テスト問題」ポイント解説付

2023.01.10
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中3数学「二次関数の練習問題」です。定期テスト対策として典型問題を解きましょう。基礎から標準レベルとなっています。

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二次関数（中学生）の練習問題一覧

・二次関数のグラフの特徴
・二次関数の式を求めること
・二次関数のグラフ上の座標を求める
・二次関数の変域
・二次関数の変化の割合
・二次関数の利用
・いろいろな関数
から構成しています。

【対策問題】二次関数のグラフの特徴

次の問題の答えをア～ウのうちから選べ。

（1）２次関数のグラフは、aの絶対値が大きいほど、グラフの開き方は、（　　）なる。（　　　）に適語を入れよ。
＜選択肢＞ア　小さく　　　イ　大きく　　ウ　斜めに

（2）ｙの値がつねに０以下になる関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x2

（3）グラフが関数y=2x2のグラフとｘ軸について対称になる関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x2

（4）グラフの開きがy=2x2のグラフより大きい関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=3x2 　イ　y=2x2　　ウ y=-0.5x2

（5）変化の割合が一定である関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x2

（6）グラフが放物線になる関数をすべて選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x2

（7）グラフが下に開く関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x2

（8）グラフの開きがもっとも小さいものを選べ。
＜選択肢＞ア　y=3×2 　イ　y=2x2　　ウ y=-0.5x2

（9）変化の割合が一定でない関数を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x

（10）ｙがｘの2乗に比例している式を選べ。
＜選択肢＞ア　y=2x+2 　イ　y=2x2　　ウ y=-2x

■二次関数の式の特徴

  1. 放物線である。
  2. 原点を通る。
  3. ｙ軸に対称である。
  4. a＞0で上に開く、a＜0で下に開く。
  5. aの値（絶対値）が大きくなると開きが小さくなり、aの値（絶対値）が小さくなると開きが大きくなります。
  6. aの絶対値が等しく符号を対にする2つの放物線は、x軸に対称となる。

解く上でのポイント

  • 慣れるまでは、簡素なグラフ書いて確実に正解しましょう。特に、変域や他の関数式（比例、反比例、一次関数）との比較問題など。
  • 出題形式や問い方も様々あるので、よく出る形式についてはパターン化するのもいいでしょう。

【解答】

  1. ア
  2. ウ
  3. ウ
  4. ア
  5. ア
  6. イ・ウ
  7. ウ
  8. ウ
  9. イ
  10. イ

【対策問題】二次関数の式を求めること

次の問いに答えよ。

  1. yがｘの2乗に比例し、比例定数が5であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  2. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝－２のとき、ｙ＝16であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  3. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝3のとき、ｙ＝－6であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  4. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝－4のとき、ｙ＝－32である。ｙ＝－18のときのｘの値を求めよ。
  5. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝3のとき、ｙ＝3である。ｘ＝－6のときのｙの値を求めよ。
  6. yがｘの2乗に比例し、比例定数が-2であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  7. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝－3のとき、ｙ＝18であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  8. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝4のとき、ｙ＝－4であるとき、ｙをｘの式で表せ。
  9. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝－3のとき、ｙ＝－18である。ｙ＝－8のときのｘの値を求めよ。
  10. yがｘの2乗に比例し、ｘ＝6のとき、ｙ＝3である。ｘ＝－6のときのｙの値を求めよ。
■二次関数の式を求め方
二次関数の式（放物線）とくれば、y=ax2とおき、与えられた値を代入することで、比例定数であるaを求めることで、2次関数の式を求めていきます。気を付けないといけないのは、ｘの値を代入するときは、2乗をしないといけないということです。2乗をするわけですから、その時点においては、符号はプラスとなります。

また、グラフから判断して2次関数の式を求めるときは、ｘ、ｙの座標ともに、整数の座標でかつ数字が小さい（絶対値が小さい）ものを代入したほうが、計算が簡単で早く求められるので、そうしましょう。

■ｘ、ｙの値を求める
式が与えられて、ｘやｙの値を求めるときは、ｘの値は、±が答えとなります。最後は、平方根を利用した2次方程式を解くので、当然ですね。気をつけましょう。

以上が、2次関数の式を求める上で気をつけておきたいことです。

【解答】

  1. ｙ＝5ｘ2
  2. ｙ＝4ｘ2
  3. ｙ＝-2/3ｘ2
  4. ±3
  5. 12
  6. ｙ＝-2ｘ2
  7. ｙ＝2ｘ2
  8. ｙ＝-1/4ｘ2
  9. ±2
  10. 3

【対策問題】二次関数のグラフ上の座標を求める

次の問いに答えない。

  1. 関数y＝2x2のグラフ上に、ｘ座標が3で、ｙ座標が正の数である点A がある。点Aのｙ座標を求めよ。
  2. 関数y＝-x2のグラフ上に、ｘ座標が4で、ｙ座標が負の数である点A がある。点Aのｙ座標を求めよ。
  3. 関数y＝2x2のグラフ上に、ｘ座標が負の数で、ｙ座標が18である点A がある。点Aのｘ座標を求めよ。
  4. 関数y＝-x2のグラフ上に、ｘ座標が正の数で、ｙ座標が-36 である点A がある。点A のｘ座標を求めよ。
  5. 関数y＝2x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選びなさい。ア （2,8） イ （-2,4） ウ （2,4）
  6. 関数y＝-x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選びなさい。ア （3,-9） イ （3,6） ウ （-2,4）
  7. 関数y＝-2x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選べ。（-3,-18） イ （-2,-18） ウ （2,8）
  8. 関数y=ax2のグラフ上に（3,-9）がある。このときa の値を求めよ。
  9. 関数y=ax2のグラフ上に（2,8）がある。このときa の値を求めよ。
  10. 関数y=ax2のグラフ上に（3,-3）がある。次の点のうち、このグラフ上にあるのはどれか選べ。ア （6,-12） イ (6,-2) ウ (-9,2)
■２次関数の座標
y=ax2の式に、わかっているｘまたはｙの座標を代入することで、求めることができます。注意点

  1. 座標は、分数の時もあれば、平方根（ルート）になるときもあります。
  2. ｙ座標を代入して、ｘ座標を求めるとき、答えは±。つまり、プラスとマイナスがあります。両方答えになるときもあれば、ｘ＞0と条件があることきなどは、答えに合わない解も存在しますので気をつけましょう。

【解答】

  1. 18
  2. -16
  3. -3
  4. 6
  5. ア（2,8）
  6. ア（3,-9）
  7. ア（-3,-18）
  8. -1
  9. 2
  10. ア （6,-12）

【対策問題】二次関数の変域

次の問いに答えよ。

  1. 関数y=x2について、ｘの変域が2≦ｘ≦4のとき、ｙの変域を求めよ。
  2. 関数y=x2について、ｘの変域が-2≦ｘ≦4のとき、ｙの変域を求めよ。
  3. 関数y=x2について、ｘの変域が-4≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
  4. 関数y=x2について、ｘの変域が-4≦ｘ≦-2のとき、ｙの変域を求めよ。
  5. 関数y=-2x2について、ｘの変域が1≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
  6. 関数y=-2x2について、ｘの変域が-1≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
  7. 関数y=-2x2について、ｘの変域が-2≦ｘ≦1のとき、ｙの変域を求めよ。
  8. 関数y=-2x2について、ｘの変域が-2≦ｘ≦-1のとき、ｙの変域を求めよ。
  9. 関数y=ax2のｘの変域を－２≦ｘ≦1のときのｙの変域がｂ≦ｙ≦8になる。このとき、a、ｂの値を求めよ。
  10. 関数y=3x2で、ｘの変域が－２≦ｘ≦aのとき、ｙの変域がｂ≦ｙ≦27となった。このとき、aの値とｂの値を求めよ。
■二次関数の変域の求め方
6パターン存在します。＜y=ax2でa＞0のとき＞

  • xの変域（正の数≦ｘ≦正の数）⇒ｙの変域（正の数≦ｘ≦正の数）
  • xの変域（負の数≦ｘ≦正の数）⇒ｙの変域（0≦ｘ≦絶対の大きい方を代入した値）
  • xの変域（負の数≦ｘ≦負の数）⇒ｙの変域（正の数≦ｘ≦正の数）

＜y=ax2でa＜0のとき＞

  • xの変域（正の数≦ｘ≦正の数）⇒ｙの変域（負の数≦ｘ≦負の数）
  • xの変域（負の数≦ｘ≦正の数）⇒ｙの変域（絶対の大きい方を代入した値≦ｘ≦0）
  • xの変域（負の数≦ｘ≦負の数）⇒ｙの変域（負の数≦ｘ≦負の数）

【解答】

  1. 4≦ｙ≦16
  2. 0≦ｙ≦16
  3. 0≦ｙ≦16
  4. 4≦ｙ≦16
  5. -8≦ｙ≦-2
  6. -8≦ｙ≦0
  7. -8≦ｙ≦0
  8. -8≦ｙ≦-2
  9. a=2 b=0
  10. a=3 b=0

【対策問題】二次関数の変化の割合

次の問いに答えなさい。

  1. 関数y=2x2について、ｘの値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めよ。
  2. 関数ｙ＝ａｘ2についてｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合が8であった。このときａの値を求めなさい。
  3. 関数y=x2で、ｘがａからａ+1まで増加するときの変化の割合が7であった。ａの値を求めよ。
  4. 関数y=2x2について、ｘの値が2から4だけ増加するときの変化の割合を求めよ。
  5. 高いところから物を自然に落とすとき、落ち始めてからｘ秒後までに落ちる距離をｙｍとすると、y=5x2という関係がある。落ち始めてから4秒後までの平均の速さを求めよ。
  6. 関数y=1/3×2（3分の1ｘ2乗） について、ｘが３から9まで増加するときのｙの増加量を求めよ。
  7. y=x2において、ｘが2から まで変化したときの変化の割合が6であった。ａの値を求めよ。
  8. 関数ｙ＝ａｘ2について，ｘの値が－１から４まで変化するときの変化の割合が，ｙ＝－３ｘ＋２の割合と等しいとき、ａの値を求めなさい。
  9. ｘの値が２から４まで増加するとき，２つの関数ｙ＝ａｘ2とｙ＝12ｘの変化の割合が等しくなるようなａの値を求めなさい。
  10. 関数ｙ＝2ｘ2においてｘの値が１から３まで増加するときの変化の割合と関数ｙ＝ａｘ2においてｘの値が-1から3まで増加するときの変化の割合が等しいとき，ａの値を求めなさい。

■2次関数の変化の割合の求め方

  • 変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
  • ｙの増加量＝変化の割合×ｘの増加量

2時間数の場合、変化の割合の公式をさらに応用して、ｙ＝ax2でｘがnからmまで増加するときの変化の割合は、

  • 変化の割合＝a（n+m）

となる。

＜例題＞
ｙ＝2×2でｘが-2から5まで増加するときの変化の割合を求めなさい。
＜解答＞
変化の割合＝a（n+m）＝2（-2+5）＝6

【解答】

  1. 12
  2. 2
  3. 3
  4. 16
  5. 20
  6. -24
  7. 4
  8. -1
  9. 2
  10. 4

【対策問題】二次関数の利用

ボールが落下するとき、落下しはじめてからの時間をx秒、その間に落下する距離をymとすると、yはxの2乗に比例します。次の問いに答えなさい。

（1）0.4秒後に落下した距離は0.8mでした。x,yの関係を式に表しなさい。
（2）2.0秒後、ボールは何m落下するか求めなさい。

【解答】
（1）0.4秒後に落下した距離は0.8mでした。x,yの関係を式に表しなさい。
yはxの2乗に比例するので、y=ax2にxとyの値を代入する。
0.8=a×(0.4)2
a=5
よって、y=5x2

（2）2.0秒後、ボールは何m落下するか求めなさい。
(1)より、y=5×2のxに2.0を代入すると、
y=5×(2.0)2
=20
20m落下する。

【対策問題】いろいろな関数

次の表は郵便局の料金表です。これについて、次の問いに答えなさい。
郵便物の料金表問題

（1）郵便物の重さが800gのとき、料金はいくらですか。
（2）郵便物の重さがxkgに対する料金をy円とするとき、xの変域が1＜x≦2のとき、yの値を求めなさい。

【解答】
（1）郵便物の重さが800gのとき、料金はいくらですか。
800gは1kgまでの区分にあてはものは600円である。
（答え）600円

（2）郵便物の重さがxkgに対する料金をy円とするとき、xの変域が1＜x≦2のとき、yの値を求めなさい。
1＜x≦2は1kgを超え、2kgまでの区分を表しているので、y=870
（答え）y=870

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