中3数学「標本調査のポイントと練習問題付」

中３数学の「標本調査」のまとめです。標本調査に関して、母集団と標本、標本の選び方、推定の信頼度などにもふれています。それでは、中３数学の「標本調査」のまとめです。

母集団と標本

• 全数調査…対象となる集団全部のものについての調査を全数調査といいます。（例）国勢調査、出欠調査など
• 標本調査…集団の一部分を調査して全体を推定するような調査を標本調査といいます。（例）世論調査、製品調査など

調査の対象となる集団全体を母集団といいます。また、母集団の一部分として取り出してじっさいに調べたものを標本といいます。母集団から標本を取り出すことを抽出といいます。

母集団と標本の大きさ

母集団の資料の個数を母集団の大きさ、標本の資料の個数を標本の大きさといいます。

• ＜例＞全校生徒500人の中から50人をかたよりなく選んでアンケートを行うとき、母集団の大きさは500人、標本の大きさは50人となります。

標本の選び方

標本は、母集団の性質をよく表すようなものでなければなりません。そのためには、標本の大きさをできるだけ大きくすることになりますが、現実には大きくできない場合も少なくありません。そこで、できるだけかたよりのない標本を取り出さなければなりません。

標本の取り出し方

標本をかたよりなく取り出すことを、無作為に抽出するといいます。標本を無作為に抽出する方法として、くじ引き、乱数表、乱数さいなどを利用することがあります。

無作為とは、母集団から標本を抽出するときに。抽出する人の個人の主観が入り込まないというころで、どの標本も抽出される確率が等しいことをいいます。

母集団の比率や平均の推定

標本調査のねらいは、標本の比率や平均から、母集団の比率や平均を推定することです。

推定の信頼度

この推定の信頼度を高めるためには、標本をかたよりなく抽出することに加えて、例えば、標本の大きさを大きくする、標本を抽出する回数を多くする、などのくふうが考えられます。推定の信頼度が高いとき、標本の比率や平均は、母集団の比率や平均にほぼ等しいと考えられます。

一定の大きさの標本を多数回繰り返し抽出し、それぞれの標本の比率や平均値や、平均値の平均を求めれば、これは母集団の比率や平均値にほぼ等しいです。

標本調査の練習問題1

袋の中に赤玉と白玉が混じって入っている。どのくらいの割合で混じっているかをしらべるため、よくかき混ぜてからカップ1杯分を取り出し、赤玉と白玉を数えたところ、下の表のようになりました。袋の中の赤玉と白玉の個数の比は、どれくらいの割合になっていると考えられるか答えよ。

標本調査の解説・解答1

5回のそれぞれの玉の個数の平均値を求めると、

• 赤玉＝（18+16+17+15+18）÷5＝16.8
• 白玉＝（504+511+498+502+496）÷8＝502.2

よって、17：502

標本調査の練習問題2

袋の中に、赤と白のボタンがあわせて500個入っています。よくかき混ぜて20個のボタンを取り出したとき、赤のボタンは6個でした。この袋の中には、赤のボタンがおよそ何個あると考えられますか。

標本調査の解説・解答2

袋の中と抽出した標本で、赤のボタンと白のボタンの個数の比は、等しいと計算します。
袋の中にはいっている赤のボタンの数をｘ個とすると、

標本である20個のボタン：赤のボタン6個＝すべてのボタン500：ｘ　（20：6＝500：ｘ）より
ｘ＝150

この袋の中には、赤のボタンがおよそ150個あると考えられます。
よって、（解答）およそ150個

標本調査の練習問題3

袋の中に大きさの白色の玉と赤色の玉が合わせて320個はいっており、この袋の中から48個の玉を無作為に抽出したところ、赤い色の球は18個ふくまれていた。袋の中に入っていた赤色の玉の個数はおよそ何個と推定できるか答えよ。

標本調査の解説・解答3

320:x=48:18
x=120

（解答）120個