中３数学の「相似な図形」のまとめです。相似についての考え方を学びます。その相似な図形の性質や相似な図形における線分の長さのを比を使って求めるなどを学びます。
相似な図形
1つの図形を、形を変えずに拡大または縮小して得られる図形は、もとの図形と相似であるといい、記号∽を使って表します。
図では、△ＡＢＣと、その各辺を2倍に拡大した△ＤＥＦがあります。
2つの三角形が相似であることを記号∽を使って表すと
△ＡＢＣ∽△ＤＥＦとなります。（対応させる必要があります。）
辺ＡＢと辺ＤＥの長さの関係は、
ＤＥ＝2ＡＢ（もし、3倍に拡大されたものであるのなら、ＤＥ＝3ＡＢ）
∠Ａと∠Ｄの大きさの関係は
∠Ａ＝∠Ｄ
相似比
図は、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦでＡＢ＝4、ＤＥ＝8です。
相似比を表すと
ＡＢ：ＤＥ＝4：8
＝1：2
辺ＡＣの長さを求めると
ＡＣ＝ｘとして、
2：1＝6：ｘ
2ｘ＝6
ｘ＝3
したがって、ＡＣ＝3となります。
例題
図において、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦのとき、ＡＢ＝6、ＡＣ＝5、ＤＥ＝12のとき、辺ＤＦの長さを求めると、
相似比は6：12＝1：2だから、ＤＦ＝ｘとすると
1：2＝5：ｘ
ｘ＝10
よって、ＤＦ＝10となります。
三角形の相似条件
- 3組の辺の比がすべて等しい。
- 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
- 2組の角がそれぞれ等しい。
相似の証明では
図で、∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｃ＝∠Ｆが等しいとき、△ＡＢＣと△ＤＥＦが相似であることを証明せよ。
△ＡＢＣと△ＤＥＦにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ（仮定）…①
∠ＢＣＡ＝∠ＥＦＤ（仮定）…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しい。
よって、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦとなります。
理由になりうるもの
- 仮定より
- 共通だから
- 対頂角だから
- ℓ//ｍで錯角が等しいから
- ℓ//ｍで同位角が等しいから
- 弧ABの円周角だから
- 中点連結定理より
などがあります。しっかり、問題を文を読んで、上記の（理由）になりえないか探しましょう。また、相似の証明では、「2組の角がそれぞれ等しい。」の条件にならないかを探り、証明していくのが王道です。それが該当しないとき、辺の長さや辺の比から、他の条件を探っていきます。
以上が、中３数学の「相似な図形と相似条件」のまとめとなります。掃除を利用して辺の長さを求めること、また三角形の相似の証明については、数多くの問題を解いて、あらゆるパターンを習得していきましょう。定期テストや入試でも出題されます。入試では、合否を分ける問題になるときも多々あるので、十分に注意して学習しましょう。
