中3数学の「相似な図形と相似条件」のまとめ

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中3数学の「相似な図形」のまとめです。相似についての考え方を万で行きます。その相似な図形の性質や相似な図形における線分の長さのを比を使って求めるなどを学びます。

相似な図形

1つの図形を、形を変えずに拡大または縮小して得られる図形は、もとの図形と相似であるといい、記号∽を使って表します。

相似な図形

図では、△ABCと、その各辺を2倍に拡大した△DEFがあります。

2つの三角形が相似であることを記号∽を使って表すと
△ABC∽△DEFとなります。(対応させる必要があります。)

辺ABと辺DEの長さの関係は、
DE=2AB(もし、3倍に拡大されたものであるのなら、DE=3AB)

∠Aと∠Dの大きさの関係は
∠A=∠D

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相似比

相似な図形
図は、△ABC∽△DEFでAB=4、DE=8です。

相似比を表すと
AB:DE=4:8
=1:2

辺ACの長さを求めると
AC=xとして、
2:1=6:x
2x=6
x=3

したがって、AC=3となります。

例題

相似な図形
図において、△ABC∽△DEFのとき、AB=6、AC=5、DE=12のとき、辺DFの長さを求めると、

相似比は6:12=1:2だから、DF=xとすると
1:2=5:x
x=10
よって、DF=10となります。

三角形の相似条件

  • 3組の辺の比がすべて等しい。
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
  • 2組の角がそれぞれ等しい。

相似の証明では

相似な図形
図で、∠A=∠D、∠C=∠Fが等しいとき、△ABCと△DEFが相似であることを証明せよ。

△ABCと△DEFにおいて
∠BAC=∠EDF(仮定)…①
∠BCA=∠EFD(仮定)…②

①②より、2組の角がそれぞれ等しい。
よって、△ABC∽△DEFとなります。

理由になりうるもの

  • 仮定より
  • 共通だから
  • 対頂角だから
  • ℓ//mで錯角が等しいから
  • ℓ//mで同位角が等しいから
  • 弧ABの円周角だから
  • 中点連結定理より

などがあります。しっかり、問題を文を読んで、上記の(理由)になりえないか探しましょう。また、相似の証明では、「2組の角がそれぞれ等しい。」の条件にならないかを探り、証明していくのが王道です。それが該当しないとき、辺の長さや辺の比から、他の条件を探っていきます。

以上が、中3数学の「相似な図形と相似条件」のまとめとなります。掃除を利用して辺の長さを求めること、また三角形の相似の証明については、数多くの問題を解いて、あらゆるパターンを習得していきましょう。定期テストや入試でも出題されます。入試では、合否を分ける問題になるときも多々あるので、十分に注意して学習しましょう。

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