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中3数学「相似な図形の面積比のテストでよく出る問題」

相似な図形の面積比アイキャッチ画像 中学数学
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中3数学「相似な図形の面積比のテストでよく出る問題」です。中学3年生の数学で学ぶ「相似な図形の面積比」は、図形分野の中でもテストで頻出のテーマです。この単元では、相似比をもとに面積比を求める計算や、与えられた条件から面積を求める問題が出題されることが多く、しっかりとした理解が得点アップのポイントになります。

しかし、「相似比と面積比の関係を忘れがち」「問題の条件をどう活用するかわからない」と悩む人も少なくありません。そこでこの記事では、相似な図形の面積比に関するテストでよく出る問題をピックアップし、解き方のコツや押さえておきたいポイントを丁寧に解説します。これを読んで、相似な図形の面積比を完全マスターし、自信を持ってテストに挑みましょう!

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【問題】相似な図形の面積比のテストでよく出る問題

(1)次の図の□ABCDで、DE:EC=2:1となるように辺DC上に点EをAとり、AEの延長とBCの延長との交点をFとする。ABCDの面積が60cm2であるとき、△ECFの面積を求めなさい。

相似面積比問題1

(2)次の図の△ABCで、点Pは辺ACの中点であり、点Q、Rは辺BCを3等分する点で、Bに近い方からQRとする。また、AQとBPとの交点をSとする。このとき、△ABCの面積は四角形SQRPの面積の何倍ですか。

相似面積比問題2

(3)次の図のABCDで、点E、Fはそれぞれ辺AB、ADの中点である。BDとCEとの交点をG、BDとCFとの交点をHとするとき、四角形EGHFの面積は、△ABDの面積の何倍ですか。

相似面積比問題3

(4)次の図のように、AD//BC、AD=3cm、BC=10cmの台形ABCDがある。対角線AC、DBの交点をE、ACの中点をF、DBの中点をGとする。△EGFの面積をS、DECの面積をTとするとき、SとTの比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

相似面積比問題4

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【解答・解説】相似な図形の面積比のテストでよく出る問題の解答

(1) 5cm2
(1) △ECF をaとすると△ECF∽△EDAで、 EC:ED=1:2だから、
△ECF: △EDA=12:22=1:4=a: 4a
また、△ECF∽△ABFで、 EC: AB=1:3

だから、△ECF: △ABF=12: 32=1:9=a: 9a
よって、四角形 ABCE=9a-a=8a

平行四辺形ABCD: △ECF
=(△EDA+四角形ABCE): △ECF
=(4a+8a): a=12:1
よって、60: AECF=12: 1より、
△ECF=5 (cm2)

(2) 4倍
(2)△BSQの面積をaとすると、
△BSQ: △BPR=12:22=a: 4a
四角形 SQRP=△BPR-△BSQ=4a-a=3a
△BPR: △CPR=BR: RC=2:1
4a: △CPR=2:1、 △CPR=2a
△ABC=2△BCP=2(△BPR+△CPR)
=2x (4a+2a)=12a
△ABC/四角形 SQRP=4(倍)

(3) 5/12倍
(3)
DH: BH=1:2より、 DH= DH=1/3BD
BG: GD=1:2より、BG=1/3BD
よって、1/3 BD
△CGH : △CBD=GH: BD=1:3 …①
CH: HF=CG: GE=2:1とり、
△CGH∽△CEF
相似比は、 CH: CF=2:3 、
よって、 △CGH: △CEF=22: 32=4:9
△CGHの面積をaとすると、
①より、
△CBD=3a、
②より、△CEF=9/4a

四角形EGHF=△CEF-△CGH=5/4a
△ABD=△CBD=3aだから
四角形EGHF/△ABD=5/12倍

(4) 49:120
(4) DE: BE=3:10、 DE=3/13BD
EG=DG-DE=1/2BD-3/13 BD =7/ 26 BD

DE: GE=3/10 BD: 7/26BD=6:7

△ADE ∽△FGE、
△ADE: S=62: 72
S= 49/36△ADE

AE: EC=3:10より、
T=10/3 △ADE
S:T= 49/36△ADE: 10/3△ADE=49: 120

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