中1数学「直線と平面の位置関係のポイントまとめ」

空間図形「ねじれの位置」の見つけ方のポイントです。入試では、計算小問や食う数右傾の大問の最初の問題で出題が多い「空間の位置関係」です。空間の位置関係は、「平行」「垂直」「ねじれ」と3つありますが、今回は、「ねじれの位置」についてです。それでは、中１数学の空間図形「ねじれの位置」の見つけ方のポイントをみていきましょう。

直線と平面の位置関係

「２直線の位置関係」、「直線と平面の位置関係」、「直線と平面の垂直」、「点と平面の距離」、「２平面の位置関係」、「２平面の垂直」をみていきます。

• 平面…限りなく広がっている平らな面
• 平面の決定…1直線上になり3点A,B,Cを含む平面はただ1つである。（2点A,Bを含む平面は無数にあるので）

２直線の位置関係

• 1点で交わる
• 平行である（同じ平面上のあり、交わらない。）
• ねじれの位置（のちほど詳細）

直線と平面の位置関係

• 直線が平面に含まれる
• 交わる
• 平行である

直線と平面の垂直

直線ｌと平面P、その交点をHについて、ｌがHを通るP上のすべての直線と垂直であるとき、ｌとPは垂直であるといい、ｌ⊥Pと書きます。

点と平面の距離

点から平面にひいた垂線の長さ

２平面の位置関係

• 交わる
• 平行である

２平面の垂直

2平面P、Qとその交線ｌについて、ｌ上に点Aをとり、P上にAB⊥ｌとなる直線AB、Q上にAC⊥ｌとなる直線ACをひいたとき、∠BACをPとQのつくる角といいます。つくる角が90°のとき、PとQは垂直であるといいP⊥Qと表します。

ねじれの位置

ねじれ

たとえば、上の図で、辺ＤＣとのねじれの辺をすべて求めよ。

解法の手順

1. 同じ面にない。＝同じ面にあるものは、ねじれでない。
   上の図では、辺ＣＢ、辺ＡＢ、辺ＡＤ、辺ＤＨ、辺ＨＥ、辺ＥＦ、辺ＧＦ
2. 平行でない。＝平行なものは、ねじれでない。上の図では、辺ＥＦ
3. 交わらない。

よって、残った辺ＧＦ、辺ＢＦ、辺ＨＥ、辺ＡＥは、ねじれになる。これらは、①同じ面にない。②平行でない。③交わらない。よって、ここでは、辺ＡＤとなる。

以上が、中１数学の「ねじれ（直線と平面の位置関係）」のポイント・練習問題です。特に「ねじれの位置」については確実におさえておきたいところです。この単元では、最も出題されることの1つとなっています。