中1数学の「ねじれ(直線と平面の位置関係)」のポイント・練習問題

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空間図形「ねじれの位置」の見つけ方のポイントです。入試では、計算小問や食う数右傾の大問の最初の問題で出題が多い「空間の位置関係」です。空間の位置関係は、「平行」「垂直」「ねじれ」と3つありますが、今回は、「ねじれの位置」についてです。それでは、中1数学の空間図形「ねじれの位置」の見つけ方のポイントをみていきましょう。

直線と平面の位置関係

「2直線の位置関係」、「直線と平面の位置関係」、「直線と平面の垂直」、「点と平面の距離」、「2平面の位置関係」、「2平面の垂直」をみていきます。

  • 平面…限りなく広がっている平らな面
  • 平面の決定…1直線上になり3点A,B,Cを含む平面はただ1つである。(2点A,Bを含む平面は無数にあるので)
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2直線の位置関係

  • 1点で交わる
  • 平行である(同じ平面上のあり、交わらない。)
  • ねじれの位置(のちほど詳細)

直線と平面の位置関係

  • 直線が平面に含まれる
  • 交わる
  • 平行である

直線と平面の垂直

直線lと平面P、その交点をHについて、lがHを通るP上のすべての直線と垂直であるとき、lとPは垂直であるといい、l⊥Pと書きます。

点と平面の距離

点から平面にひいた垂線の長さ

2平面の位置関係

  • 交わる
  • 平行である

2平面の垂直

2平面P、Qとその交線lについて、l上に点Aをとり、P上にAB⊥lとなる直線AB、Q上にAC⊥lとなる直線ACをひいたとき、∠BACをPとQのつくる角といいます。つくる角が90°のとき、PとQは垂直であるといいP⊥Qと表します。

ねじれの位置

ねじれ

解説

たとえば、上の図で、辺DCとのねじれの辺をすべて求めよ。

解法の手順

  1. 同じ面にない。=同じ面にあるものは、ねじれでない。
    上の図では、辺CB、辺AB、辺AD、辺DH、辺HE、辺EF、辺GF
  2. 平行でない。=平行なものは、ねじれでない。上の図では、辺EF
  3. 交わらない。

よって、残った辺GF、辺BF、辺HE、辺AEは、ねじれになる。これらは、①同じ面にない。②平行でない。③交わらない。よって、ここでは、辺ADとなる。

以上が、中1数学の「ねじれ(直線と平面の位置関係)」のポイント・練習問題です。特に「ねじれの位置」については確実におさえておきたいところです。この単元では、最も出題されることの1つとなっています。

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