中3数学「2次関数の基礎一行問題練習」

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2次関数の式を求めるポイントと練習問題です。入試でも頻出されるところで、得点源にしなければならない。ここで間違うと命取りです。緊張して解きましょう。それでは、中3数学の2次関数の式の求め方・練習問題をみていきましょう。

2次関数の式を求め方

2次関数の式(放物線)とくれば、y=ax2とおき、与えられた値を代入することで、比例定数であるaを求めることで、2次関数の式を求めていきます。

気を付けないといけないのは、xの値を代入するときは、2乗をしないといけないということです。2乗をするわけですから、その時点においては、符号はプラスとなります。

また、グラフから判断して2次関数の式を求めるときは、x、yの座標ともに、整数の座標でかつ数字が小さい(絶対値が小さい)ものを代入したほうが、計算が簡単で早く求められるので、そうしましょう。

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x、yの値を求める

式が与えられて、xやyの値を求めるときは、xの値は、±が答えとなります。最後は、平方根を利用した2次方程式を解くので、当然ですね。気をつけましょう。

以上が、2次関数の式を求める上で気をつけておきたいことです。

2次関数の式を求める練習問題

次の問いに答えよ。

  1. yがxの2乗に比例し、比例定数が5であるとき、yをxの式で表せ。
  2. yがxの2乗に比例し、x=-2のとき、y=16であるとき、yをxの式で表せ。
  3. yがxの2乗に比例し、x=3のとき、y=-6であるとき、yをxの式で表せ。
  4. yがxの2乗に比例し、x=-4のとき、y=-32である。y=-18のときのxの値を求めよ。
  5. yがxの2乗に比例し、x=3のとき、y=3である。x=-6のときのyの値を求めよ。
  6. yがxの2乗に比例し、比例定数が-2であるとき、yをxの式で表せ。
  7. yがxの2乗に比例し、x=-3のとき、y=18であるとき、yをxの式で表せ。
  8. yがxの2乗に比例し、x=4のとき、y=-4であるとき、yをxの式で表せ。
  9. yがxの2乗に比例し、x=-3のとき、y=-18である。y=-8のときのxの値を求めよ。
  10. yがxの2乗に比例し、x=6のとき、y=3である。x=-6のときのyの値を求めよ。

2次関数の式を求める解答

  1. y=5x2
  2. y=4x2
  3. y=-2/3x2
  4. ±3
  5. 12
  6. y=-2x2
  7. y=2x2
  8. y=-1/4x2
  9. ±2
  10. 3

2次関数の座標

y=ax2の式に、わかっているxまたはyの座標を代入することで、求めることができます。

注意点

  1. 座標は、分数の時もあれば、平方根(ルート)になるときもあります。
  2. y座標を代入して、x座標を求めるとき、答えは±。つまり、プラスとマイナスがあります。両方答えになるときもあれば、x>0と条件があることきなどは、答えに合わない解も存在しますので気をつけましょう。

2次関数の座標を求める練習問題

次の問いに答えない。

  1. 関数y=2x2のグラフ上に、x座標が3で、y座標が正の数である点A がある。点Aのy座標を求めよ。
  2. 関数y=-x2のグラフ上に、x座標が4で、y座標が負の数である点A がある。点Aのy座標を求めよ。
  3. 関数y=2x2のグラフ上に、x座標が負の数で、y座標が18である点A がある。点Aのx座標を求めよ。
  4. 関数y=-x2のグラフ上に、x座標が正の数で、y座標が-36 である点A がある。点A のx座標を求めよ。
  5. 関数y=2x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選びなさい。ア (2,8) イ (-2,4) ウ (2,4)
  6. 関数y=-x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選びなさい。ア (3,-9) イ (3,6) ウ (-2,4)
  7. 関数y=-2x2のグラフ上に、ある座標は、次のうちどれか選べ。(-3,-18) イ (-2,-18) ウ (2,8)
  8. 関数y=ax2のグラフ上に(3,-9)がある。このときa の値を求めよ。
  9. 関数y=ax2のグラフ上に(2,8)がある。このときa の値を求めよ。
  10. 関数y=ax2のグラフ上に(3,-3)がある。次の点のうち、このグラフ上にあるのはどれか選べ。ア (6,-12) イ (6,-2) ウ (-9,2)

2次関数の座標を求める解答

  1. 18
  2. -16
  3. -3
  4. 6
  5. ア(2,8)
  6. ア(3,-9)
  7. ア(-3,-18)
  8. -1
  9. 2
  10. ア (6,-12)

2次関数の式の特徴

  1. 放物線である。
  2. 原点を通る。
  3. y軸に対称である。
  4. a>0で上に開く、a<0で下に開く。
  5. aの値(絶対値)が大きくなると開きが小さくなり、aの値(絶対値)が小さくなると開きが大きくなります。
  6. aの絶対値が等しく符号を対にする2つの放物線は、x軸に対称となる。

解く上でのポイント

  • 慣れるまでは、簡素なグラフ書いて確実に正解しましょう。特に、変域や他の関数式(比例、反比例、一次関数)との比較問題など。
  • 出題形式や問い方も様々あるので、よく出る形式についてはパターン化するのもいいでしょう。

2次関数の式の特徴練習問題

次の問題の答えをア~ウのうちから選べ。

(1)2次関数のグラフは、aの絶対値が大きいほど、グラフの開き方は、(  )なる。(   )に適語を入れよ。
<選択肢>ア 小さく   イ 大きく  ウ 斜めに

(2)yの値がつねに0以下になる関数を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x2

(3)グラフが関数y=2x2のグラフとx軸について対称になる関数を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x2

(4)グラフの開きがy=2x2のグラフより大きい関数を選べ。
<選択肢>ア y=3x2  イ y=2x2  ウ y=-0.5x2

(5)変化の割合が一定である関数を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x2

(6)グラフが放物線になる関数をすべて選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x2

(7)グラフが下に開く関数を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x2

(8)グラフの開きがもっとも小さいものを選べ。
<選択肢>ア y=3×2  イ y=2x2  ウ y=-0.5x2

(9)変化の割合が一定でない関数を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x

(10)yがxの2乗に比例している式を選べ。
<選択肢>ア y=2x+2  イ y=2x2  ウ y=-2x

2次関数の式の特徴解答

  1. イ・ウ

2次関数の変域の求め方

6パターン存在します。

y=ax2でa>0のとき

  • xの変域(正の数≦x≦正の数)⇒yの変域(正の数≦x≦正の数)
  • xの変域(負の数≦x≦正の数)⇒yの変域(0≦x≦絶対の大きい方を代入した値)
  • xの変域(負の数≦x≦負の数)⇒yの変域(正の数≦x≦正の数)

y=ax2でa<0のとき

  • xの変域(正の数≦x≦正の数)⇒yの変域(負の数≦x≦負の数)
  • xの変域(負の数≦x≦正の数)⇒yの変域(絶対の大きい方を代入した値≦x≦0)
  • xの変域(負の数≦x≦負の数)⇒yの変域(負の数≦x≦負の数)

2次関数の変域に関する練習問題

次の問いに答えよ。

  1. 関数y=x2について、xの変域が2≦x≦4のとき、yの変域を求めよ。
  2. 関数y=x2について、xの変域が-2≦x≦4のとき、yの変域を求めよ。
  3. 関数y=x2について、xの変域が-4≦x≦2のとき、yの変域を求めよ。
  4. 関数y=x2について、xの変域が-4≦x≦-2のとき、yの変域を求めよ。
  5. 関数y=-2x2について、xの変域が1≦x≦2のとき、yの変域を求めよ。
  6. 関数y=-2x2について、xの変域が-1≦x≦2のとき、yの変域を求めよ。
  7. 関数y=-2x2について、xの変域が-2≦x≦1のとき、yの変域を求めよ。
  8. 関数y=-2x2について、xの変域が-2≦x≦-1のとき、yの変域を求めよ。
  9. 関数y=ax2のxの変域を-2≦x≦1のときのyの変域がb≦y≦8になる。このとき、a、bの値を求めよ。
  10. 関数y=3x2で、xの変域が-2≦x≦aのとき、yの変域がb≦y≦27となった。このとき、aの値とbの値を求めよ。

2次関数の変域解答

  1. 4≦y≦16
  2. 0≦y≦16
  3. 0≦y≦16
  4. 4≦y≦16
  5. -8≦y≦-2
  6. -8≦y≦0
  7. -8≦y≦0
  8. -8≦y≦-2
  9. a=2 b=0
  10. a=3 b=0

2次関数の変化の割合の求め方

  • 変化の割合=yの増加量/xの増加量
  • yの増加量=変化の割合×xの増加量

2時間数の場合、変化の割合の公式をさらに応用して、y=ax2でxがnからmまで増加するときの変化の割合は、

  • 変化の割合=a(n+m)

となる。

<例題>
y=2×2でxが-2から5まで増加するときの変化の割合を求めなさい。

<解答>
変化の割合=a(n+m)=2(-2+5)=6

2次関数の変化の割合の練習問題

次の問いに答えなさい。

  1. 関数y=2x2について、xの値が2から4まで増加するときの変化の割合を求めよ。
  2. 関数y=ax2についてxの値が1から3まで増加するときの変化の割合が8であった。このときaの値を求めなさい。
  3. 関数y=x2で、xがaからa+1まで増加するときの変化の割合が7であった。aの値を求めよ。
  4. 関数y=2x2について、xの値が2から4だけ増加するときの変化の割合を求めよ。
  5. 高いところから物を自然に落とすとき、落ち始めてからx秒後までに落ちる距離をymとすると、y=5x2という関係がある。落ち始めてから4秒後までの平均の速さを求めよ。
  6. 関数y=1/3×2(3分の1x2乗) について、xが3から9まで増加するときのyの増加量を求めよ。
  7. y=x2において、xが2から まで変化したときの変化の割合が6であった。aの値を求めよ。
  8. 関数y=ax2について,xの値が-1から4まで変化するときの変化の割合が,y=-3x+2の割合と等しいとき、aの値を求めなさい。
  9. xの値が2から4まで増加するとき,2つの関数y=ax2とy=12xの変化の割合が等しくなるようなaの値を求めなさい。
  10. 関数y=2x2においてxの値が1から3まで増加するときの変化の割合と関数y=ax2においてxの値が-1から3まで増加するときの変化の割合が等しいとき,aの値を求めなさい。

2次関数の変化の割合の解答

  1. 12
  2. 2
  3. 3
  4. 16
  5. 20
  6. -24
  7. 4
  8. -1
  9. 2
  10. 4
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