中2数学「１次関数のポイントと定期テスト問題」

１次関数の式とグラフの特徴に関する練習問題です。定期テストでは、必ず出題されるところです。また１次関数の様々な問題を解くときの基礎となるところですので、しっかりおさえましょう。

座標

座標軸…それぞれ原点で直角に交わる2つの数直線を考える。ｘ軸は、横の数直線。横軸ともいいます。ｙ軸は、縦の数直線。縦軸ともいいます。
原点O…座標軸の交点。
座標平面…座標軸の書かれている平面。

点の座標

点の位置を1組2つの数で表します。

点Pからｘ軸、ｙ軸に垂直な直線をひいたとき、ｘ軸と交わる点を目もりをPのｘ座標、ｙ軸と交わる点の目もりをPのｙ座標といいます。
Pのｘ座標がa、ｙ座標がbのとき、（a,b）と書き、Pの座標といいます。P(a,b)とも書きます。

点の位置の関係と座標

P(x,y)とする。

Pをｘ軸について折り返すと、(x,-y) →　ｘ軸に対称
Pをｙ軸について折り返すと、(-x,y) →　ｙ軸に対称
Pを原点Oについて180°回転すると、(-x,-y) → 原点Oに対称

1次関数の座標

与えられた値またはわかっている値をそれぞれ代入することで、求まることが多い。

1次関数

2つの変数ｘ、ｙについて、ｙがｘの1次式で表されるとき、ｙはｘの1次関数であるといいます。1次関数は、一般的に「y=ax+b」とあらわされます。1年生で履修した比例式「y=ax」も1次関数であり、b=0の特別な式と理解できます。

1次関数の式y=ax+b

a＝比例定数＝変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
b＝切片

1次関数の式を求めるポイント

1次関数y=ax+bにおいて、

aの値がわかるとき → 傾き、変化の割合、平行な直線がわかっている場合
bの値がわかるとき → 切片がわかっている場合

以上がわかっているときは、まずあてはめたのち、次に与えられている条件をあてはめていきます。またa,bの値がわからない2点が与えられている問題は、その2点をy=ax+bにそれぞれ代入して、連立方程式で解くか、先に、傾きをｘの増加量/ｙの増加量を利用して出して、解くかのいずれかです。

●例題
yがxの1次関数で、そのグラフが点（3,1）を通り、傾きが2であるとき、この1次関数を求めなさい。

＜解法＞

1次関数なので、y=ax+bとおく。
傾きが2なので、y=2x+bとおける。
（3,1）を通るので、代入。1＝2×3+b
これを解くと、b=-5
よって、y=-2x-5　となる。

1次関数の変化の割合

xの増加量に対するｙの増加量の割合を「変化の割合」といいます。1次関数y=ax+bでは変化の割合は一定で、aに等しくなります。

1次関数y=ax+bの変化の割合＝yの増加量/xの増加量

「きはじ」の要領で　ｙの増加量＝変化の割合（傾き）×ｘの増加量

1次関数の変化の割合の例題

1次関数y=2x+1について、次の表を完成して、xの値が1から3まで増加したときの、ｙの増加量/ｘの増加量を求めると

＜表＞

ｘ	…	-3	-2	-1	0	1	2	3	…
ｙ	…	-5	-3	-1	1	3	5	7	…

ｘ＝1のとき、ｙ＝2ｘ1+1＝3
ｘ＝3のとき、ｙ＝2×3+1＝7

したがって、xの増加量/ｙの増加量＝（7-3）/（3-1）＝2

１次関数の変域

変数…いろいろな値をとることができる文字。ｘやｙを使います。これに対して、決まった値を示す数や文字を定数といいます。aやｂを使います。
変域…変数のとる値の範囲を変域といいます。一般的に、変域は、不等号を使って表します。

＜例＞

ことば…ｘは3以上、7より小さい（7未満）
不等号…3≦ｘ＜7

変域の例題

1次関数y=x-1について、ｘの変域が-2≦ｘ≦6のとき、ｙの変域を求めよ。

ｘ＝-2のとき、ｙ＝-2-1＝-3
ｘ＝6のとき、ｙ＝6-1＝5

よって、-3≦ｙ≦5となる。

一次関数の変域ポイント

それぞれ、代入して、小さい値を左、大きい値を右にし、不等号の向きに気をつけましょう。特に、傾きがマイナスのときに、注意が必要です。

座標を求める練習問題

次に問いに答えなさい。

2点（5,5）(2,5)の間の距離を求めよ。
2点（2,5）(2,8)の間の距離を求めよ。
2点（5,5）(-2,5)の間の距離を求めよ。
2点（2,5）(2,-8)の間の距離を求めよ。
2点（a+2,5）(a,5)の間の距離を求めよ。ただし、a＞0とする。
1次関数ｙ＝2ｘ+4において、ｘ＝1のときの、ｙの値を求めなさい。
1次関数ｙ＝－2ｘ+4において、ｙ＝2のときの、ｘの値を求めなさい。
点（ｔ、6）が、直線ｙ＝2ｘ+4上にあるとき、ｔの値を求めなさい。
点（8、ｔ）が、直線ｙ＝2ｘ+4上にあるとき、ｔの値を求めなさい。
点（4、10）が、直線ｙ＝2ｘ+ｔ上にあるとき、ｔの値を求めなさい。

座標を求める　解答

1次関数のグラフの特徴

y=ax+bのグラフは、y=axのグラフをｙ軸の正の方向にbだけ平行に移動させた直線です。
a＞0のとき、ｘが増加すれば、ｙも増加する。
a＜0のとき、ｘが増加すれば、ｙを減少する。

１次関数のグラフ　練習問題

次のＡ～Ｄの一次関数について、次の問いに記号で答えなさい。

グラフが右上がりの直線になるのは、直線Ａとどれか。
グラフが右下がりになる直線は、直線Ｂとどれか。
グラフがｙ軸の正の部分と交わるのは、直線Ｂとどれか。
グラフがｙ軸の負の部分と交わるのは、直線Ａとどれか。
ｘが増加すると、ｙは減少するのは、直線Ｂとどれか。
ｘが増加すると、ｙは増加するのは、直線Ａとどれか。
変化の割合が常に2である直線はどれか。
グラフがｙ軸の2と交わるのは、直線はどれか。
切片のｙ座標が一番小さい直線はどれか。
ｘの値2のとき、ｙの値が3となる直線はどれか。

解答

2直線の交点の求め方

2直線の交点の座標は、2つの直線の式を組にした連立方程式の解いて求められます。

2直線の交点　練習問題

次の問いに答えよ。

直線ｙ＝2ｘ+6とｙ軸との交点の座標を求めよ。
直線ｙ＝2ｘ+6とｘ軸との交点の座標を求めよ。
直線ｙ＝-2ｘ+4とｙ軸との交点の座標を求めよ。
直線ｙ＝-2ｘ+4とｘ軸との交点の座標を求めよ。
直線とｙ軸との交点の座標を求めよ。
直線とｘ軸との交点の座標を求めよ。
2直線ｙ＝-ｘ+5とｙ＝2ｘ-1との交点の座標を求めよ。
2直線ｙ＝-ｘ+5とｙ＝ｘ-1との交点の座標を求めよ。
2直線ｙ＝-ｘ+13とｙ＝6ｘ+6との交点の座標を求めよ。
2直線ｙ＝-2ｘ+1とｙ＝-ｘ+3との交点の座標を求めよ。

2直線の交点解答

（0,6）
（-3,0）
（0,4）
（2,0）
（0,4）
（8,0）
x＝2、y＝3
x＝3、y＝2
ｘ＝1、ｙ＝12
x＝-2、y＝5

直線の式の求める練習問題

傾きが2、切片が4である1次関数の式を求めよ。
変化の割合が4、切片が2である1次関数の式を求めよ。
直線ｙ＝3ｘと平行で、切片が2である1次関数の式を求めよ。
傾き2で、点（0,3）を通る直線の式を求めよ。
傾き-2で、ｘ＝0のとき、ｙ＝5を通る直線の式を求めよ。
変化の割合2で、点（0,3）を通る直線の式を求めよ。
直線ｙ＝3ｘ+5と平行で、点（0,2）を通る直線の式を求めよ。
直線ｙ＝5ｘ+5と平行で、点（0,-3）を通る直線の式を求めよ。
点（0,6）を通り、傾きが3である直線の式を求めよ。
xが2増加すると、ｙが6増加し、切片が2である1次関数の式を求めよ。
2点（1,3）、（4,6）を通る直線の式を求めよ。
2点（1,1）、（3,-7）を通る直線の式を求めよ。
2点（3,5）、（4,8）を通る直線の式を求めよ。
2点（1,3）、（-2,9）を通る直線の式を求めよ。
傾きが2で点（2,1）を通る直線の式を求めよ。
傾きが-3で点（2,4）を通る直線の式を求めよ。
切片が2で点（2,10）を通る直線の式を求めよ。
切片が6で点（2,0）を通る直線の式を求めよ。
変化の割合が2で点（2,1）を通る直線の式を求めよ。
1次関数ｙ＝-3ｘ+6と平行で点（2,4）を通る直線の式を求めよ。

直線の式の求める解答

ｙ＝2ｘ+4
ｙ＝4ｘ+2
ｙ＝3ｘ+2
ｙ＝2ｘ+3
ｙ＝-2ｘ+5
ｙ＝2ｘ+3
ｙ＝3ｘ+2
ｙ＝5ｘ-3
ｙ＝3ｘ+6
ｙ＝3ｘ+2
ｙ＝ｘ+2
ｙ＝-4ｘ+5
ｙ＝3ｘ-4
ｙ＝-2ｘ+5
ｙ＝2ｘ-3
ｙ＝-3ｘ+10
ｙ＝4ｘ+2
ｙ＝-3ｘ+6
ｙ＝2ｘ-3
ｙ＝-3ｘ+10

１次関数の変化の割合の練習問題

次の問いに答えなさい。

1次関数ｙ＝3ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときの変化の割合を求めなさい。
1次関数ｙ＝-2ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときの変化の割合を求めなさい。
1次関数ｙ＝4ｘ+5で、ｘの増加量が5であるときの変化の割合を求めなさい。
1次関数ｙ＝4ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときのｘの増加量を求めなさい。
1次関数ｙ＝4ｘ-5で、ｘの値が－1から4まで増加したときのｘの増加量を求めなさい。
1次関数ｙ＝2ｘ+8で、ｘの値が1から4まで増加したときのｙの増加量を求めなさい。
1次関数ｙ＝-2ｘ+8で、ｘの値が1から3まで増加したときのｙの増加量を求めなさい。
1次関数ｙ＝3ｘ+2で、ｘの増加量が5であるときのｙの増加量を求めなさい。
1次関数ｙ＝aｘ+4で、ｘの増加量が5であるときのｙの増加量が10である。このとき、aの値を求めなさい。
1次関数ｙ＝aｘ-2で、ｘの値が-1から3まで増加したときのｙの増加量が8である。このとき、aの値を求めなさい。

１次関数の変化の割合の解答

3
-2
4
3
5
6
-4
15
2

１次関数の変域の練習問題