中２数学「１次関数の基本問題」

１次関数の式とグラフの特徴に関する練習問題です。定期テストでは、必ず出題されるところです。また１次関数の様々な問題を解くときの基礎となるところですので、しっかりおさえましょう。

座標

• 座標軸…それぞれ原点で直角に交わる2つの数直線を考える。ｘ軸は、横の数直線。横軸ともいいます。ｙ軸は、縦の数直線。縦軸ともいいます。
• 原点O…座標軸の交点。
• 座標平面…座標軸の書かれている平面。

点の座標

点の位置を1組2つの数で表します。

1. 点Pからｘ軸、ｙ軸に垂直な直線をひいたとき、ｘ軸と交わる点を目もりをPのｘ座標、ｙ軸と交わる点の目もりをPのｙ座標といいます。
2. Pのｘ座標がa、ｙ座標がbのとき、（a,b）と書き、Pの座標といいます。P(a,b)とも書きます。

点の位置の関係と座標

P(x,y)とする。

• Pをｘ軸について折り返すと、(x,-y) →　ｘ軸に対称
• Pをｙ軸について折り返すと、(-x,y) →　ｙ軸に対称
• Pを原点Oについて180°回転すると、(-x,-y) → 原点Oに対称

1次関数の座標

与えられた値またはわかっている値をそれぞれ代入することで、求まることが多い。

1次関数

2つの変数ｘ、ｙについて、ｙがｘの1次式で表されるとき、ｙはｘの1次関数であるといいます。1次関数は、一般的に「y=ax+b」とあらわされます。1年生で履修した比例式「y=ax」も1次関数であり、b=0の特別な式と理解できます。

1次関数の式y=ax+b

• a＝比例定数＝変化の割合＝ｙの増加量/ｘの増加量
• b＝切片

1次関数の式を求めるポイント

1次関数y=ax+bにおいて、

• aの値がわかるとき → 傾き、変化の割合、平行な直線がわかっている場合
• bの値がわかるとき → 切片がわかっている場合

以上がわかっているときは、まずあてはめたのち、次に与えられている条件をあてはめていきます。またa,bの値がわからない2点が与えられている問題は、その2点をy=ax+bにそれぞれ代入して、連立方程式で解くか、先に、傾きをｘの増加量/ｙの増加量を利用して出して、解くかのいずれかです。

●例題
yがxの1次関数で、そのグラフが点（3,1）を通り、傾きが2であるとき、この1次関数を求めなさい。

＜解法＞

1. 1次関数なので、y=ax+bとおく。
2. 傾きが2なので、y=2x+bとおける。
3. （3,1）を通るので、代入。1＝2×3+b
4. これを解くと、b=-5
5. よって、y=-2x-5　となる。

1次関数の変化の割合

xの増加量に対するｙの増加量の割合を「変化の割合」といいます。1次関数y=ax+bでは変化の割合は一定で、aに等しくなります。

• 1次関数y=ax+bの変化の割合＝yの増加量/xの増加量

「きはじ」の要領で　ｙの増加量＝変化の割合（傾き）×ｘの増加量

1次関数の変化の割合の例題

1次関数y=2x+1について、次の表を完成して、xの値が1から3まで増加したときの、ｙの増加量/ｘの増加量を求めると

＜表＞

ｘ＝1のとき、ｙ＝2ｘ1+1＝3
ｘ＝3のとき、ｙ＝2×3+1＝7

したがって、xの増加量/ｙの増加量＝（7-3）/（3-1）＝2

１次関数の変域

• 変数…いろいろな値をとることができる文字。ｘやｙを使います。これに対して、決まった値を示す数や文字を定数といいます。aやｂを使います。
• 変域…変数のとる値の範囲を変域といいます。一般的に、変域は、不等号を使って表します。

＜例＞

• ことば…ｘは3以上、7より小さい（7未満）
• 不等号…3≦ｘ＜7

変域の例題

1次関数y=x-1について、ｘの変域が-2≦ｘ≦6のとき、ｙの変域を求めよ。

ｘ＝-2のとき、ｙ＝-2-1＝-3
ｘ＝6のとき、ｙ＝6-1＝5

よって、-3≦ｙ≦5となる。

一次関数の変域ポイント

それぞれ、代入して、小さい値を左、大きい値を右にし、不等号の向きに気をつけましょう。特に、傾きがマイナスのときに、注意が必要です。

座標を求める練習問題

次に問いに答えなさい。

1. 2点（5,5）(2,5)の間の距離を求めよ。
2. 2点（2,5）(2,8)の間の距離を求めよ。
3. 2点（5,5）(-2,5)の間の距離を求めよ。
4. 2点（2,5）(2,-8)の間の距離を求めよ。
5. 2点（a+2,5）(a,5)の間の距離を求めよ。ただし、a＞0とする。
6. 1次関数ｙ＝2ｘ+4において、ｘ＝1のときの、ｙの値を求めなさい。
7. 1次関数ｙ＝－2ｘ+4において、ｙ＝2のときの、ｘの値を求めなさい。
8. 点（ｔ、6）が、直線ｙ＝2ｘ+4上にあるとき、ｔの値を求めなさい。
9. 点（8、ｔ）が、直線ｙ＝2ｘ+4上にあるとき、ｔの値を求めなさい。
10. 点（4、10）が、直線ｙ＝2ｘ+ｔ上にあるとき、ｔの値を求めなさい。

座標を求める　解答

1. 3
2. 3
3. 7
4. 13
5. 2
6. 6
7. 1
8. 1
9. 20
10. 2

1次関数のグラフの特徴

• y=ax+bのグラフは、y=axのグラフをｙ軸の正の方向にbだけ平行に移動させた直線です。
• a＞0のとき、ｘが増加すれば、ｙも増加する。
• a＜0のとき、ｘが増加すれば、ｙを減少する。

１次関数のグラフ　練習問題

次のＡ～Ｄの一次関数について、次の問いに記号で答えなさい。

1. グラフが右上がりの直線になるのは、直線Ａとどれか。
2. グラフが右下がりになる直線は、直線Ｂとどれか。
3. グラフがｙ軸の正の部分と交わるのは、直線Ｂとどれか。
4. グラフがｙ軸の負の部分と交わるのは、直線Ａとどれか。
5. ｘが増加すると、ｙは減少するのは、直線Ｂとどれか。
6. ｘが増加すると、ｙは増加するのは、直線Ａとどれか。
7. 変化の割合が常に2である直線はどれか。
8. グラフがｙ軸の2と交わるのは、直線はどれか。
9. 切片のｙ座標が一番小さい直線はどれか。
10. ｘの値2のとき、ｙの値が3となる直線はどれか。

解答

1. Ｄ
2. Ｃ
3. Ｄ
4. Ｃ
5. Ｃ
6. Ｄ
7. Ａ
8. Ｂ
9. Ｃ
10. Ａ

2直線の交点の求め方

2直線の交点の座標は、2つの直線の式を組にした連立方程式の解いて求められます。

2直線の交点　練習問題

次の問いに答えよ。

1. 直線ｙ＝2ｘ+6とｙ軸との交点の座標を求めよ。
2. 直線ｙ＝2ｘ+6とｘ軸との交点の座標を求めよ。
3. 直線ｙ＝-2ｘ+4とｙ軸との交点の座標を求めよ。
4. 直線ｙ＝-2ｘ+4とｘ軸との交点の座標を求めよ。
5. 直線 とｙ軸との交点の座標を求めよ。
6. 直線 とｘ軸との交点の座標を求めよ。
7. 2直線ｙ＝-ｘ+5とｙ＝2ｘ-1との交点の座標を求めよ。
8. 2直線ｙ＝-ｘ+5とｙ＝ｘ-1との交点の座標を求めよ。
9. 2直線ｙ＝-ｘ+13とｙ＝6ｘ+6との交点の座標を求めよ。
10. 2直線ｙ＝-2ｘ+1とｙ＝-ｘ+3との交点の座標を求めよ。

2直線の交点 解答

1. （0,6）
2. （-3,0）
3. （0,4）
4. （2,0）
5. （0,4）
6. （8,0）
7. x＝2、y＝3
8. x＝3、y＝2
9. ｘ＝1、ｙ＝12
10. x＝-2、y＝5

直線の式の求める練習問題

1. 傾きが2、切片が4である1次関数の式を求めよ。
2. 変化の割合が4、切片が2である1次関数の式を求めよ。
3. 直線ｙ＝3ｘと平行で、切片が2である1次関数の式を求めよ。
4. 傾き2で、点（0,3）を通る直線の式を求めよ。
5. 傾き-2で、ｘ＝0のとき、ｙ＝5を通る直線の式を求めよ。
6. 変化の割合2で、点（0,3）を通る直線の式を求めよ。
7. 直線ｙ＝3ｘ+5と平行で、点（0,2）を通る直線の式を求めよ。
8. 直線ｙ＝5ｘ+5と平行で、点（0,-3）を通る直線の式を求めよ。
9. 点（0,6）を通り、傾きが3である直線の式を求めよ。
10. xが2増加すると、ｙが6増加し、切片が2である1次関数の式を求めよ。
11. 2点（1,3）、（4,6）を通る直線の式を求めよ。
12. 2点（1,1）、（3,-7）を通る直線の式を求めよ。
13. 2点（3,5）、（4,8）を通る直線の式を求めよ。
14. 2点（1,3）、（-2,9）を通る直線の式を求めよ。
15. 傾きが2で点（2,1）を通る直線の式を求めよ。
16. 傾きが-3で点（2,4）を通る直線の式を求めよ。
17. 切片が2で点（2,10）を通る直線の式を求めよ。
18. 切片が6で点（2,0）を通る直線の式を求めよ。
19. 変化の割合が2で点（2,1）を通る直線の式を求めよ。
20. 1次関数ｙ＝-3ｘ+6と平行で点（2,4）を通る直線の式を求めよ。

直線の式の求める解答

1. ｙ＝2ｘ+4
2. ｙ＝4ｘ+2
3. ｙ＝3ｘ+2
4. ｙ＝2ｘ+3
5. ｙ＝-2ｘ+5
6. ｙ＝2ｘ+3
7. ｙ＝3ｘ+2
8. ｙ＝5ｘ-3
9. ｙ＝3ｘ+6
10. ｙ＝3ｘ+2
11. ｙ＝ｘ+2
12. ｙ＝-4ｘ+5
13. ｙ＝3ｘ-4
14. ｙ＝-2ｘ+5
15. ｙ＝2ｘ-3
16. ｙ＝-3ｘ+10
17. ｙ＝4ｘ+2
18. ｙ＝-3ｘ+6
19. ｙ＝2ｘ-3
20. ｙ＝-3ｘ+10

１次関数の変化の割合の練習問題

次の問いに答えなさい。

1. 1次関数ｙ＝3ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときの変化の割合を求めなさい。
2. 1次関数ｙ＝-2ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときの変化の割合を求めなさい。
3. 1次関数ｙ＝4ｘ+5で、ｘの増加量が5であるときの変化の割合を求めなさい。
4. 1次関数ｙ＝4ｘ+6で、ｘの値が1から4まで増加したときのｘの増加量を求めなさい。
5. 1次関数ｙ＝4ｘ-5で、ｘの値が－1から4まで増加したときのｘの増加量を求めなさい。
6. 1次関数ｙ＝2ｘ+8で、ｘの値が1から4まで増加したときのｙの増加量を求めなさい。
7. 1次関数ｙ＝-2ｘ+8で、ｘの値が1から3まで増加したときのｙの増加量を求めなさい。
8. 1次関数ｙ＝3ｘ+2で、ｘの増加量が5であるときのｙの増加量を求めなさい。
9. 1次関数ｙ＝aｘ+4で、ｘの増加量が5であるときのｙの増加量が10である。このとき、aの値を求めなさい。
10. 1次関数ｙ＝aｘ-2で、ｘの値が-1から3まで増加したときのｙの増加量が8である。このとき、aの値を求めなさい。

１次関数の変化の割合の解答

1. 3
2. -2
3. 4
4. 3
5. 5
6. 6
7. -4
8. 15
10. 2

１次関数の変域の練習問題

次の問いに答えよ。

1. 1次関数ｙ＝3ｘ+2で、ｘの変域が1≦ｘ≦3のとき、ｙの変域を求めよ。
2. 1次関数ｙ＝ｘ+5で、ｘの変域が-1≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
3. 1次関数ｙ＝-2ｘ+4で、ｘの変域が2≦ｘ≦4のとき、ｙの変域を求めよ。
4. 1次関数ｙ＝-4ｘ+2で、ｘの変域が-1≦ｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
5. 1次関数ｙ＝2ｘ+1で、ｘの変域がｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
6. 1次関数ｙ＝-3ｘ+5で、ｘの変域がｘ≦2のとき、ｙの変域を求めよ。
7. 1次関数ｙ＝3ｘ+2で、ｘの変域が1＜ｘ≦3のとき、ｙの変域を求めよ。
8. 1次関数ｙ＝ｘ+5で、ｘの変域が-1≦ｘ＜2のとき、ｙの変域を求めよ。
9. 1次関数ｙ＝-2ｘ+4で、ｘの変域が2＜ｘ≦4のとき、ｙの変域を求めよ。
10. 1次関数ｙ＝-4ｘ+2で、ｘの変域が-1≦ｘ＜2のとき、ｙの変域を求めよ。

一次関数変域の解答

1. 5≦ｙ≦11
2. 4≦ｙ≦7
3. -4≦ｙ≦0
4. -6≦ｙ≦6
5. ｙ≦5
6. ｙ≧-1
7. 5＜ｙ≦11
8. 4≦ｙ＜7
9. -4≦ｙ＜0
10. -6＜ｙ≦6