中2数学「連立方程式文章題」個数・距離・割合・整数

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2ケタの正の整数(自然数)に関する連立方程式文章題

●整数問題のポイント

  • 十の位の数をx、一の位の数をyとすると、2けたの自然数は、10x+y
  • 十の位の数と一の位を入れかえてできる数は、10y+x
  • 十の位の数と一の位の数の和は、x+y

次の問いに答えなさい。
(1)2けたの正の整数があり、十の位の数と一の位の数の和は11である。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より45大きくなる。もとの整数を求めなさい。
(2)2けたの正の整数があり、十の位の数と一の位の数の和は10である。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より18小さくなる。もとの整数を求めなさい。
(3)2けたの正の整数があり、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より36大きくなる。また、十の位の数の2倍から一の位の数をひいた差は1となる。もとの整数を求めなさい。
(4)2けたの正の整数があり、十の位の数と一の位の数の和は13である。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より9大きくなる。もとの整数を求めなさい。
(5)2けたの正の整数があり、十の位の数は一の位の数より4だけ大きい。また、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、十の位の数と一の位の数の和の4倍である。もとの整数を求めなさい。
(6)2けたの正の整数がある。その整数は、各位の数の和が12であり、また、十の位の数と一の位の数を入れかえてできる2けたの数は、もとの整数よりも18小さくなる。このとき、もとの整数を求めよ。
(7)2けたの自然数がある。十の位と一の位の数の和は5で、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より9小さいという。もとの自然数を求めよ。
(8)2けたの自然数がある。十の位と一の位の数の和は7で、十の位の数字と一の位の数字を入れかえてできる数は、もとの数より9小さいという。もとの自然数を求めよ。

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2ケタの正の整数(自然数)解答

(1)38
(2)64
(3)59
(4)67
(5)84
(6)75
(7)32
(8)34

距離に関する連立方程式文章題

道のりと時間の関係に注目します。また、単位に気をつけながら解きましょう。単位は、「速さ」の単位にあわせると解きやすいです。たとえば、速さの単位が「m/分」とあれば、距離は「m」、時間は「分」で立式してきましょう。

●速さの公式

  • 道のり=速さ×時間
  • 速さ=道のり÷時間
  • 時間=道のり÷速さ

●速さの表し方

  • 時速xkmのことを、xkm/h
  • 分速ymのことを、ym/minや、ym/分
  • 秒速zmのことを、zm/s

と表すこともできます。

次の問いに答えなさい。

  1. 家から1180m離れた駅に行くときに、途中の郵便局までは60m/分で歩き、郵便局から先は100m/分で走ったところ15分で駅に着きました。家から郵便局までの道のりは何mですか。
  2. A地点からB地点を通って2700m離れたC地点に行きます。途中のB地点までは毎分50mで歩き、B地点からはバスで毎分300mで進み、全部で14分かかりました。AB間の距離とBC間の距離をそれぞれ求めなさい。
  3. 家から1.3km離れた駅に行くときに、途中の病院までは毎分80mで歩き、病院から先は毎分140mで走ったところ11分で駅に着きました。家から病院までの道のりは何mですか。
  4. A町からB町を通って320km離れたC町に行きます。途中のB町までは時速40kmで進み、B町からは時速60kmで進み、全部で6時間かかりました。AB間の距離とBC間の距離をそれぞれ求めなさい。

距離に関する解答

  1. 480m
  2. AB間300m、BC間2400m
  3. 320m
  4. AB間80km、BC間240km

割合の連立方程式文章題

●割合
割合の文章題では、もとにする数量をx、yとして方程式を解きます。

  • 割合=くらベル量÷もとにする量
  • くらべる量=もとにする量×割合

●割合の増減

  • a%引きするともとの値段に対して (1-a/100)倍になります。
  • a%増加するともとの値段に対して (1+a/100)倍になります。

次の問いに答えなさい。
(1)ある店で、シャツとパンツを1組買いました。定価どおりだと、1組の値段は3200円でしたが、シャツは定価の20%引き、パンツは定価の30%引きだったので、代金は2360円になりました。このシャツとパンツの定価は、それぞれいくらですか。
(2)ある中学校の昨年の陸上部員数は、男女あわせて30人でした。今年は昨年とくらべて男子は10%増え、女子は20%減ったので、男女あわせて27人になりました。昨年の男子と女子の部員数は、それぞれ何人でしたか。
(3)ある工場で、先月は製品AとBをあわせて1000個作りました。今月は、先月と比べて、Aを10%少なく、Bを20%多く作ったところ、あわせて80個多くなりました。先月の製品A、Bの個数をそれぞれ求めなさい。
(4)ある店で、シャツとパンツを1組買いました。定価どおりだと、1組の値段は3300円でしたが、シャツは定価の20%引き、パンツは定価の10%引きだったので、代金は2820円になりました。このシャツとパンツの定価は、それぞれいくらですか。
(5)ある中学校の昨年の水泳部員数は、男女あわせて35人でした。今年は昨年とくらべて男子は20%増え、女子は10%減ったので、男女あわせて36人になりました。昨年の男子と女子の部員数は、それぞれ何人でしたか。
(6)ある工場で、先月は製品AとBをあわせて1000個作りました。今月は、先月と比べて、Aを30%多く、Bを10%多く作ったところ、あわせて140個多くなりました。今月の製品A、Bの個数をそれぞれ求めなさい。
(7)ある農家で、トマトとかぼちゃを合わせて250kgの収穫があった。そのうち、トマトは80%、かぼちゃは70%、合わせて190kgを出荷した。トマトとかぼちゃの収穫量はそれぞれ何kgか求めよ。
(8)ある小学校の去年の児童数は330人だったが、今年は15人増えた。これを男女別に調べると、去年より男の子は、15%、女の子は4%増えていることがわかった。去年の男の子、女の子の児童数はそれぞれ何人か求めよ。
(9)ある文房具店で、ペンと消しゴムをどちらも定価で買うと550円となるが、ペンは定価の30%引き、消しゴムは定価の20%引きで買ったため、代金は420円になった。ペンと消しゴムの定価はそれぞれいくらか。
(10)ある中学校の2年生の生徒数は310人で、男子生徒のうちの50%、女子生徒の40%が、通学に20分以上かかり、その人数の合計は140人である。2年生の男子、女子の生徒数は、それぞれ何人か求めよ。
(11)ある動物園の入園料は,大人 300円,子ども 200円であるが,団体割引を利用すると大人は 30%引き,子どもは 50%引になる。大人と子どもを合わせて20人の団体が,団体割引を利用して総額2880円の入場料を支払って入場した。この団体の大人と子どものそれぞれの人数を求めよ。
(12)A商店では、文房具を販売している。8月は、ペンと消しゴムを1500個販売した。9月は8月に比べて、販売したペンの個数は20%、消しゴムは、30%それぞれ増え、合わせて360個増えた。このとき、9月に販売したペンと消しゴムは、それぞれ何個か。9月に販売したペンをx個、消しゴムをy個として求めよ。
(13)A商店では、文房具を販売している。8月は、ペンと消しゴムを1500個販売した。9月は8月に比べて、販売したペンの個数は20%、消しゴムは、30%それぞれ増え、合わせて360個増えた。このとき、9月に販売したペンと消しゴムは、それぞれ何個か。8月に販売したペンをx個、消しゴムをy個として求めよ。

解答

(1)シャツ1200円、パンツ2000円
(2)男子10人、女子20人
(3)A400個、B600個
(4)シャツ1500円、パンツ1800円
(5)男子15人、女子20人
(6)製品A260個、製品B880個
(7)トマト150kgかぼちゃ100kg
(8)男の子180人女の子150人
(9)アペン200円消しゴム350円
(10)男子160人女子150人
(11)大人8人子ども12人
(12)ペン1080個、消しゴムは780個
(13)ペン1080個、消しゴムは780個

個数の連立方程式文章題

練習問題1

花子と太郎は,次のルールでゲームを行った。

<ルール>

  1. じゃんけんを15回する。ただし,あいこ(引き分け)の場合も1回と数える。
  2. じゃんけんを1回するごとに,勝った方の得点を2,負けた方の得点を-2,あいこ(引き分け)の場合は,それぞれの得点を1とする。

このとき,次の各問いに答えなさい。
(1)花子が勝った回数をx回,太郎が勝った回数をy回として,次の数量をそれぞれx,yを使った式で表せ。

  • あいこ(引き分け)の回数
  • 花子の得点の合計

(2)花子の得点が9,太郎の得点の合計が1のとき,花子が勝った回数,太郎が勝った回数をそれぞれ求めよ。

練習問題2

100円硬貨と50円硬貨だけを入れた貯金箱があり,合計1000円入っている。この貯金箱から,100円硬貨を何枚かずつ取り出して,それをすべて10円硬貨に両替してもどすと,貯金箱の中の硬貨が67枚ふえて,全部で79枚になった。はじめに貯金箱の中にあった100円硬貨と50円硬貨の枚数を,それぞれx枚,y枚として,はじめに貯金箱の中にあった100円硬貨と50円硬貨の枚数を求めなさい。

練習問題3

ある古紙リサイクル工場のA製造部門では、Aを古新聞1kgからちょうど8箱、古雑誌からちょうど3箱の割合で製造している。この部門で、合計33kgの古新聞と古雑誌を使って製造したところ、古新聞16kgと古雑誌13kgを使って製造したときより、Aはちょうど3箱少なかった。合計33kgの古新聞と古雑誌を使って製造したときの古新聞は何kgか。方程式をつくり、途中式も書け。

練習問題4

ある子ども会で, 何人かの大人と子どもが博覧会へ行きました。子どもは大人より6人多く参加しました。入場券は大人1人1000円, 子ども1人700円の券を購入する予定でしたが, 実際には大人1人子ども1人のペアで利用できる1500円のペア券があったので, できる限りこのペア券を利用し, 予定よりも合計で3000円安く入場することができました。 大人をx人, 子どもをy人として大人と子どもの人数をそれぞれ求めなさい。

練習問題5

次の会話は、さとしくんがあるお店でナゲットとポテトを買いに行くことをまりさんに話しているときのものです。会話を読み、次の問いに答えなさい。

<会話>
さとし:あるお店では、ナゲットが2つ入っているセットAが500円、ポテトが5つ入っているセットBが400で売られています。
まり:さとしくんは、誕生会で食べるものを買いにいくことにまっていたね。
さとし:そうなんだ。そこで、ナゲットとポテトを10000円分ちょうど、あるお店に買いに行くことにしたんだ。
まり:10000円分ちょうどとなったら、セットAとセットBの買い方の組み合わせが限られてくるね。たとえば、セットAを10個買うとき、セットBの個数を調整しても10000円分ちょうどにはならないね。
さとし:そうだね。セットAを12個買う場合だと、セットBを( ア )個買えば、10000円分ちょうどになるね。

(1)(ア)に入る適当な数を答えよ。
(2)さとしさんが飼ったセットAの個数とセットBの個数の合計は23個であった。さとしさんが買ったセットAの個数をx個、セットBの個数をy個とし、連立方程式をつくって、さとしさんが買ったナゲットとポテトの個数をそれzれ求めなさい。

練習1の解答

(1)①15-x-y ②x-3y+15
(2)花子6回、太郎4回

練習2の解答

100x+50y=1000
x+y+67=79

これを解くと、x=8、y=4
これは問題に合う。
(答え)100円8枚、50円4枚

練習3の解答

古新聞x、古雑誌yとする。
x+y=33
8x+3y=16×8+13×3-3

これを解くと、x=13 y=20
これは問題に合う。
(答え)13kg

練習4の解答

y=x+6
1000x+700y-(1500x+4200)=3000

x=15 y=21 これは問題に合う。
(答え)大人15人 子ども21人

練習5の解答

(1)10
(2)
500x+400y=10000
x+y=23

これを解くと
x=8 y=15
これは問題に合う。

ナゲットは8×2=16
ポテトは15×5=75
(答え)ナゲット16個、ポテト75個

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