高校入試の数学では、基本問題をしっかり解けることはもちろん、応用問題や難問を解けるかどうかが合否を分けるポイントになります。特に、学区トップ校を目指す受験生にとっては、思考力・応用力を問う問題を攻略することが必須です。
本記事では、高校入試で差がつく応用問題・難問を14問厳選し、詳しい解説付きで紹介します。実践的な問題を解くことで、自分の弱点を知り、入試本番で自信を持って挑めるようにしましょう！
テスト形式で
問1 計算集合 （5問×8＝40点）
問2 方程式文章題 （1問×10点）
問3 関数 （3問×6＝18点）
問4 平面図形 （3問×6＝18点）
問5 空間図形 （2問×7＝14点）
の構成となっています。（100点満点）
偏差値の目安
100点-偏差値67.5
90点以上-偏差値65以上
75点以上-偏差値60以上
55点以上-偏差値55以上
40点以上-偏差値50以上
高校入試数学模擬テスト応用問題
問1 小問集合
次の問いに答えなさい。
問2 方程式文章題
Ａ君とＢ君が山登りのトレーニングをした。２人は、同時にスタート地点を出発し、同じコースで1200ｍ先のゴール地点に向かった。Ａ君は、毎分40ｍの速さでスタート地点からｘｍ進んだ地点（以下「ｘｍ地点」という。）まで行き，ｘｍ地点からゴール地点までは毎分30ｍの速さで行った。また、Ｂ君は毎分40ｍの速さでスタート地点（以下「ｙｍ地点」という。）まで行き、そこで５分間休憩した後，毎分60ｍの速さでｙｍ地点からゴール地点まで行った。スタート地点から見て、ｙｍ地点は、ｘｍ地点より120ｍ先である。このとき，次の問いに答えよ。２人は、同時にゴール地点に着いた。ｘ，ｙについての連立方程式を作れ。また，ｘ，ｙの値を求めよ。
問3 関数
問4 平面図形
問5 空間図形
高校入試数学模擬テスト応用問題の解答・解説
問1 小問集合
問2 方程式文章題
問3 関数
特別な直角三角形1:2:√3を利用する。
点Aのx座標をtとし、2通り表し方程式で解く！
➊(t,t2) y=x2上に代入より
➋(t,√3𝑡) 三平方の定理より
➊➋より 𝑡2=√3𝑡
𝑡2−√3 𝑡=0
𝑡(𝑡−√3)=0
𝑡=0,√3
反比例の比例定数は、xの値×ｙの値で求める。
問4 平面図形
特別な直角三角形の1：1：√2を利用する。
特別な直角三角形の1：2：√5を利用する。
面積比を求めるテクニックの一つ、「共通する角があるときは、その角を挟む2辺の積が面積比になる」を活用。
△ECG：△CDA＝1×1：2×3＝1：6
四角形EDGA＝△CDA－△ECG＝6－1＝5
問5 空間図形
ねじれの位置は、
□①同じ面にない。
□②平行でない。
□③交わらない。
3つの「ない」がそろわないといけない。
最短距離を求める手順は、
①必要なところの展開図を描く
②三平方や相似の利用
高校入試数学模擬応用問題（書き起こし）
問1
（1） 𝑥^2 (𝑦+1)−(𝑦+1)を因数分解しなさい。
（2）√5の小数部分を𝑎とするとき、 𝑎^2+4𝑎−2の値を求めなさい。
（3）3直線𝑦=−2/3 𝑥+5/3 、 𝑦=1/4 𝑥−2 𝑦=𝑘𝑥−1 が三角形を作らないようなｋの値をすべて求めよ。
（4）次の図で、AD//BC、弧ABが弧ADの2倍であるとき、∠ｘの大きさを求めなさい。
（5）袋の中に1,2,3,4,5の数字を1つずつ記入した5枚のカードが入っている。この中から、1枚取り出し、数字を読んで、またもとに戻す。これを3回繰り返し、3つの数字を選ぶ。3つの数字がすべて偶数である確率を求めよ。
問3
図のように放物線と関数（ｋ＞0）のグラフが、点Aで交わっています。Aからｘ軸に下ろした垂線の点をHとしたとき、∠AOH＝60°です。次の問いに答えなさい。
（1）OH：OAを最も簡単な整数の比で答えなさい。
（2）点Aの座標を求めなさい。
（3）ｋの値を求めなさい。
問4
1辺の長さが6ｃｍの正方形ＡＢＣＤがある。下の図のように、辺ＤＣの中点をＥとし、対角線ＡＣと対角線ＢＤ、線分ＢＥとの交点をそれぞれＦ，Ｇとする。点Ａを通る線分ＢＥの垂線と線分ＢＥとの交点をＨとする。
（1）線分ＡＧの長さを求めよ。
（2）線分ＧＢの長さを求めよ。
（3）△ECGと四角形EDGAの面積比を求めよ。
問5
次の図は、正四面体と三角柱を合わせた形で、正四面体は1辺4ｃｍ、三角柱の側面の側面はすべて合同な図形である。
（1）図に示す立体において、辺CDとねじれの位置にある辺は全部で何本あるか答えよ。
（2）図に示す立体において、辺BC上に点Ｈ、辺AC上に点Iを、EH+HI+IDの長さが最も短くなるようにとる。BE=√3ｃｍのとき、EH+HI+IDの長さを求めよ。
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