円周角の定理は、中学数学の中でも重要なテーマの一つです。この定理を理解することで、円に関するさまざまな問題を解く力がつきます。しかし、証明の過程や問題の解き方に不安を感じている方も多いのではないでしょうか？本記事では、円周角の定理をしっかりと理解するための証明方法と、実践的な問題演習を通して、効果的に対策できるポイントを解説します。これからの定期テストや入試に向けて、確実に実力をつけるための手助けとなる内容をお届けしますので、ぜひ一緒に学んでいきましょう！
【問題】円周角の定理を使った証明・円周角を求める問題
【問1】
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。
【問2】
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。
【問3】
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。
【問4】次の図の、4点A,B,C,Dが同じ円周上にあることを証明しなさい。
【問5】次の図で∠xの大きさを求めなさい。
【問6】次の∠x、∠yの大きさを求めなさい。
円周角の定理のポイント
弧の長さと円周角の大きさは、弧の長さに比例する。
つまり、
- 長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しい。
- 大きさが等しい円周角に対する弧の長さは等しい。
■円に内接する四角形と円周角
円に内接する四角形では、
- 対角の和は180°である。
- 外角は、それととなり合う内角の対角に等しい。
■四角形の内接条件
次の1,2のどちらかが成り立つ四角形は、円に内接します。
- 1組の外角の和が180°である。
- 1つの外角が、それととなり合う内角の対角に等しい。
■接線と弦のつくる角と円周角
円の接線とその接点を通る弦のつくる角の大きさは、その角の内部にある弧に対する円周角の大きさに等しい。（接弦定理）
- 円周角…円Ｏの弧ＡＢを除いた円周上に点Ｐをとるとき、∠ＡＰＢを弧ＡＢに対する円周角といいます。
■円周角の定理
- 1つの弧に対する円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である。
- 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。
■円の直径に対する円周角の大きさ
円の直径に対する円周角の大きさは、90°である。
【解答】円周角の定理を使った証明・円周角を求める問題
【問1】
△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG
【問2】
△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE
【問3】
△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③
②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE
【問4】
図より、∠AEB=90°だから
∠BAE=90°-34°
=56°
したがって、∠BAE=∠BDC
よって、円周角の定理の逆より、
4点A,B,C,Dが1つの円周上にある。
【問5】43°
点Ｐが直線ＡＢについて点Ｃと同じ側にあって、∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢならば、点Ｐは、3点Ａ，Ｂ，Ｃを通る円の周上にある。
- 円周角の定理…4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐが同じ円周上→∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢ
- 円周角の定理の逆…∠ＡＰＢ＝∠ＡＣＢ→4点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐは同じ円周上
■円と動点
円周角の定理の逆から、∠ＡＰＢが一定であるならば、点Ｐは円周上を動く。
【問6】
（1）∠x=40° ∠y=20°
（2）∠x=60° ∠y=60°
（3）∠x=40° ∠y=50°
∠yは、頂角80°の二等辺三角形の底角である（半径の長さは等しい）。よって、∠y=（180-80）÷2＝50
（4）∠x=40° ∠y=90°
直径の円周角は90°である。
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