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中3数学「円周角の定理を使った証明・円周角を求める対策問題」

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中3数学「円周角の定理を使った証明・円周角を求める対策問題」です。

■円周角と弧
弧の長さと円周角の大きさは、弧の長さに比例する。
つまり、

  • 長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しい。
  • 大きさが等しい円周角に対する弧の長さは等しい。

■円に内接する四角形と円周角
円に内接する四角形では、

  • 対角の和は180°である。
  • 外角は、それととなり合う内角の対角に等しい。

■四角形の内接条件
次の1,2のどちらかが成り立つ四角形は、円に内接します。

  1. 1組の外角の和が180°である。
  2. 1つの外角が、それととなり合う内角の対角に等しい。

■接線と弦のつくる角と円周角
円の接線とその接点を通る弦のつくる角の大きさは、その角の内部にある弧に対する円周角の大きさに等しい。(接弦定理)

■円周角

  • 円周角…円Oの弧ABを除いた円周上に点Pをとるとき、∠APBを弧ABに対する円周角といいます。

■円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である。
  • 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

■円の直径に対する円周角の大きさ
円の直径に対する円周角の大きさは、90°である。

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【問題】円周角の定理を使った証明・円周角を求める問題

【問1】
共通する弧の円周角と相似1
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。

【問2】
共通する弧の円周角と相似2
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。

【問3】
共通する弧の円周角と相似3
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。

【問4】次の図の、4点A,B,C,Dが同じ円周上にあることを証明しなさい。
円周角の逆証明問題

【問5】次の図で∠xの大きさを求めなさい。
円周角の逆問題

【問6】次の∠x、∠yの大きさを求めなさい。
円周角と中心角の問題

【解答】円周角の定理を使った証明・円周角を求める問題

【問1】
△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG

【問2】
△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE

【問3】
△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③
②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE

【問4】
図より、∠AEB=90°だから
∠BAE=90°-34°
=56°
したがって、∠BAE=∠BDC
よって、円周角の定理の逆より、
4点A,B,C,Dが1つの円周上にある。

【問5】43°

■円周角の定理の逆
点Pが直線ABについて点Cと同じ側にあって、∠APB=∠ACBならば、点Pは、3点A,B,Cを通る円の周上にある。

  • 円周角の定理…4点A,B,C,Pが同じ円周上→∠APB=∠ACB
  • 円周角の定理の逆…∠APB=∠ACB→4点A,B,C,Pは同じ円周上

■円と動点
円周角の定理の逆から、∠APBが一定であるならば、点Pは円周上を動く。

【問6】
(1)∠x=40° ∠y=20°

(2)∠x=60° ∠y=60°

(3)∠x=40° ∠y=50°
∠yは、頂角80°の二等辺三角形の底角である(半径の長さは等しい)。よって、∠y=(180-80)÷2=50

(4)∠x=40° ∠y=90°
直径の円周角は90°である。

中学数学
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