中3数学「円周角の定理」

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中3数学の「円周角の定理」のまとめです。円周角の定理に関して、円周角と弧、円周角の定理の逆、円と動点、円に内接する四角形と円周角、接線と弦のつくる円と円周角などにふれています。それでは、中3数学の「円周角の定理」のまとめです。

円周角

  • 円周角…円Oの弧ABを除いた円周上に点Pをとるとき、∠APBを弧ABに対する円周角といいます。
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円周角の定理

  • 1つの弧に対する円周角の大きさはその弧に対する中心角の大きさの半分である。
  • 同じ弧に対する円周角の大きさは等しい。

円の直径に対する円周角の大きさ

円の直径に対する円周角の大きさは、90°である。

円周角と弧

弧の長さと円周角の大きさは、弧の長さに比例する。
つまり、

  • 長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しい。
  • 大きさが等しい円周角に対する弧の長さは等しい。

円周角の定理の逆

点Pが直線ABについて点Cと同じ側にあって、∠APB=∠ACBならば、点Pは、3点A,B,Cを通る円の周上にある。

  • 円周角の定理…4点A,B,C,Pが同じ円周上→∠APB=∠ACB
  • 円周角の定理の逆…∠APB=∠ACB→4点A,B,C,Pは同じ円周上

円と動点

円周角の定理の逆から、∠APBが一定であるならば、点Pは円周上を動く。

円に内接する四角形と円周角

円に内接する四角形では、

  • 対角の和は180°である。
  • 外角は、それととなり合う内角の対角に等しい。

四角形の内接条件

次の1,2のどちらかが成り立つ四角形は、円に内接します。

  1. 1組の外角の和が180°である。
  2. 1つの外角が、それととなり合う内角の対角に等しい。

接線と弦のつくる角と円周角

円の接線とその接点を通る弦のつくる角の大きさは、その角の内部にある弧に対する円周角の大きさに等しい。(接弦定理)

以上が、中3数学の「円周角の定理」のまとめとなります。入試でも出題率が非常に高いところです。何度も問題を解きながら、体得していきましょう。必ず得点源にしたいところです。

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