中3数学「円周角の定理を使った証明の定期テスト過去問分析問題」

中3数学「円周角の定理を使った証明の定期テスト過去問分析問題」です。

■円周角と弧
弧の長さと円周角の大きさは、弧の長さに比例する。
つまり、

  • 長さが等しい弧に対する円周角の大きさは等しい。
  • 大きさが等しい円周角に対する弧の長さは等しい。

■円に内接する四角形と円周角
円に内接する四角形では、

  • 対角の和は180°である。
  • 外角は、それととなり合う内角の対角に等しい。

■四角形の内接条件
次の1,2のどちらかが成り立つ四角形は、円に内接します。

  1. 1組の外角の和が180°である。
  2. 1つの外角が、それととなり合う内角の対角に等しい。

■接線と弦のつくる角と円周角
円の接線とその接点を通る弦のつくる角の大きさは、その角の内部にある弧に対する円周角の大きさに等しい。(接弦定理)

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円周角の定理を使った証明の定期テスト過去問分析問題

【問1】
共通する弧の円周角と相似1
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。

【問2】
共通する弧の円周角と相似2
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。

【問3】
共通する弧の円周角と相似3
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。

円周角の定理を使った証明の定期テスト過去問分析問題の解答

【問1】
△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG

【問2】
△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE

【問3】
△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE

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