中3数学「整数の証明問題対策」

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中3数学「整数の証明問題対策」についてです。

整数の証明問題対策1

次の図は、ある年の8月のカレンダーである。カレンダーの中の5つの数を右の図のような形に囲んだら、どこを囲んでも、5つの数の和は、5の倍数であることを、囲んだ形の中央に位置する数をnとして、証明せよ。
カレンダー

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解答1

上の数は、n-7 左の数は、n-1 右の数は、n+1 下の数は、n+7と表せる。
n+(n-7)+(n-1)+(n+1)+(n+7)=5n
ここで、nは、整数なので、5nは、5の倍数となる。

整数の証明問題対策2

連続する3つの整数のうち、最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しいことを証明せよ。

解答2

整数nを使って、真ん中の数をnとすると、連続する3つの整数は、(n-1)、n、(n+1)と表せる。

最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた数は
(n-1)2+(n-1)2-2
=n2-2n+1+(n2+2n+1)-2
=2n2  …①
真ん中の整数の2乗の2倍は、
2×2
=2n2  …②
①②より最も小さい整数の2乗と最も大きい整数の2乗をたした数から2をひいた
数は、真ん中の整数の2乗の2倍に等しい

整数の証明問題対策3

2つの連続する偶数で、大きい方の偶数の平方から小さい方の偶数の平方をひくと、4の倍数となることを証明しなさい。

解答3

整数をnとすると、2つの連続する偶数を2n, 2n+2と表せる。
大きい方の偶数の平方から小さい方の偶数の平方をひくと、

(2n+2)2-(2n)2=4n2+8n+4-4n2
=8n+4
=4(2n+1)

nは整数なので2n+1も整数となる。したがって2つの連続する偶数の平方の差は、4の倍数となる。

整数の証明問題対策4

3つの整数A,B,Cがある。整数Aは奇数で、整数Bは整数Aより3だけ小さく、整数Cは整数Aより4だけ大きい。このとき、整数Aの2乗と整数Bと整数Cの和は、整数Aより1だけ大きい数の2乗に等しくなることを証明せよ。

解答4

整数nを使って、整数Aは2n+1、整数Bは2n-2、整数Cは2n+5と表せる

整数Aの2条と整数Bと整数Cの和は、
(2n+1)2+(2n-2)+(2n+5)=4n2+8n+4 …①

整数Aより1だけ大きい数の2乗は
(2n+1+1)2=4n2+8n+4 …②

①②より、整数Aの2乗と整数Bと整数Cの和は、整数Aより1だけ大きい数の2乗に等しくなる。

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