中3数学「前期期末対策テスト問題」

中3数学「前期期末対策テスト問題」です。前期期末テストが近づいてきましたね。今回のテスト範囲は「二次方程式」が中心。解の公式、因数分解を使った解法、平方完成、文章題など、多くの解き方を使い分ける必要がある重要な単元です。

「解の公式を忘れがち…」「因数分解がうまくできない…」「文章題の式を立てるのが難しい…」と感じている人もいるかもしれません。でも、解き方のポイントを押さえて問題演習を重ねれば、確実に得点できる単元です！この記事では、テストによく出る問題を厳選し、解き方のコツをわかりやすく解説します。しっかり復習して、高得点を目指しましょう！

テスト	範囲
中1数学前期中間	正負の数・指数計算・四則計算
中1数学前期期末	一次方程式
中1数学後期中間	比例反比例
中1数学後期期末	平面・空間図形・資料の整理
中2数学前期中間	文字式の計算
中2数学前期期末	連立方程式
中2数学後期中間	一次関数
中2数学後期期末	図形の性質と証明・確率
中3数学前期中間	展開・因数分解・平方根
【今回】中3数学前期期末	二次方程式
中3数学後期中間	二次関数
中3数学後期期末	相似・三平方の定理
※テスト範囲が違うときは、上記を参照にリンク先へ

【対策問題】前期期末対策テスト問題（中3数学）
【解答・解説】前期期末対策テスト問題（中3数学）の解答

【対策問題】前期期末対策テスト問題（中3数学）

【問1　二次方程式を解く】次の方程式を解きなさい。
（1）７ｘ²＝６３
（2）１６ｘ²－７＝０
（3）（ｘ－２）²＝９
（4）（ｘ＋３）²＝５
（5）（ｘ－５）²＝０
（6）（ｘ＋３）（ｘ－４）＝０
（7）ｘ²＋４ｘ＋３＝０
（8）ｘ²＋２ｘ－３＝０
（9）ｘ²－ｘ－６＝０
（10）ｘ²－５ｘ＝０
（11）ｘ²＋１２＝７ｘ
（12）ｘ²＝８ｘ－１６
（13）ｘ²－６ｘ＋４＝０
（14）ｘ²－2ｘ＝48
（15）3(ｘ＋2）（ｘ－2)＝2ｘ²－ｘ
（16）(ｘ－2)²＝－ｘ＋8
（17）ｘ²－2ｘ－24＝0
（18）ｘ²＋4ｘ－12＝0

【問2　二次方程式の文章題】
（1）連続した３つの自然数がある。その最小の数の平方は、残りの２数の和に等しくなります。最小の数をｘとして、式をつくり連続する３つの自然数を求めなさい。ただし、途中の式も書きなさい。

（2）連続した3つの正の整数があり、最も大きい数の平方は他の２つの数の積の２倍より95小さい。このとき、この3つの数を求めよ。ただし、方程式を作り、求める途中の式も書け。

（3）連続する２つの奇数があり、小さい方の奇数を２乗して32を加えた数は，大きい方の奇数を９倍した数に等しい。このとき小さい方の奇数をｘとして、ｘの値を求めよ。ｘの値を求める過程も、式と計算を含めて書け。

（4）大小2つの数があって、その差は8で、積は9になるという。大小2つの数を求めなさい。ただし、方程式を作り、求める途中の式も書け。

（5）大小２つの自然数がある。大きい数は小さい数より４大きく、この２つの数の積は、この２つの数の和を5倍した数より４小さい。大きい数と小さい数をそれぞれ求めなさい。途中式も書け。

（6）図のように、縦10ｍ、横20ｍの花だんのまわりに、同じ幅の歩道をつけたら、歩道の面積は400ｍ²になりました。この道幅を求めなさい。ただし、方程式をつくり、求める過程も書け。

（7）図のような縦９ｃｍ，横１６ｃｍの長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道をつくり、花だんを６つ作ったところ、６つの花だんの面積が長方形の土地の面積の7/12（12分の7）になりました。この道幅をｘｍとして、式をつくり道幅を求めなさい。ただし、途中の式も書きなさい。

（8）縦が24ｍ、横が35ｍの長方形の土地がある。図のように、長方形の各辺に面した部分がｘｍの道路をつけて、残りを畑にしたい。畑の面積が726ｍ²になるようなｘを求めなさい。途中式も書け。

（9）次の図のように、2つの長方形ABCD、EFGHがあり、辺EF上に辺ABがあります。 AB＝6cm、BC＝8cmで、頂点Cから辺GHまでの距離は、AEの長さ、BFの長さと同じです。図のコの字の部分の面積が長方形ABCDの面積の半分になるとき、頂点Cから辺GHまでの距離は何cmになりますか。頂点Cから辺GHまでの距離をxcmとして方程式をつくり、求めなさい。

【解答・解説】前期期末対策テスト問題（中3数学）の解答

■二次方程式を解き方

平方根の利用
因数分解の利用
平方完成の利用
解の公式の利用

以上4つの解き方があります。

解き方	例題	ポイント
平方根の利用	ｘ²＝36	ｘ2の項と数字の方程式のときに使用
因数分解の利用	ｘ²+5ｘ+6＝0	ｘの項があるときに使用。
平方完成の利用	ｘ²+6ｘ-8＝0	因数分解ができないときに使用
解の公式の利用	ｘ²+7ｘ-8＝0	因数分解ができない。さらにxの係数が奇数のときに使用。

平方根の利用の時、ｘ²の係数が1以外の場合は、その係数で割ったり、くくるなりして方程式を整理してから解きます。

解の公式は、どの二次方程式を解く問題でも使用できますが、平方根や因数分解を利用できるときは、そちらで解いたほうがより早く、正確に答えを導けます。また、解の公式には、ｘの項が偶数のとき、より簡単な公式が存在します。

平方完成を利用するときは、ｘの係数が分数のときに、その威力がもっとも増します。

以上のように、二次方程式を解く問題には、4つの解法パターンがあるので、問題を数多くとき、慣れていきましょう。

【問1　二次方程式を解く】
（1）ｘ＝±3
（2）ｘ＝±√7/4
（3）ｘ＝-1,5
（4）ｘ＝3±√5
（5）ｘ＝5
（6）ｘ＝3、-4
（7）ｘ＝-1、-3
（8）ｘ＝1、-3
（9）ｘ＝-2,3
（10）ｘ＝0,5
（11）ｘ＝3,4
（12）ｘ＝4
（13）ｘ＝3±√5
（14）ｘ＝-6,8
（15）ｘ＝3,-4
（16）ｘ＝-1,4
（17）ｘ＝-4、6
（18）ｘ＝2、-6