中3数学「二次方程式の定期対策テスト問題」です。定期テスト対策として典型問題を解きましょう。復習や実力テスト対策にもご利用ください。
【対策問題】二次方程式
【問1 二次方程式を解く】次の方程式を解きなさい。
（1）７ｘ2＝６３
（2）１６ｘ2－７＝０
（3）（ｘ－２）2＝９
（4）（ｘ＋３）2＝５
（5）（ｘ－５）2＝０
（6）（ｘ＋３）（ｘ－４）＝０
（7）ｘ2＋４ｘ＋３＝０
（8）ｘ2＋２ｘ－３＝０
（9）ｘ2－ｘ－６＝０
（10）ｘ2－５ｘ＝０
（11）ｘ2＋１２＝７ｘ
（12）ｘ2＝８ｘ－１６
（13）ｘ2－６ｘ＋４＝０
（14）ｘ2－2ｘ＝48
（15）3(ｘ＋2）（ｘ－2)＝2ｘ2－ｘ
（16）(ｘ－2)2＝－ｘ＋8
（17）ｘ2－2ｘ－24＝0
（18）ｘ2＋4ｘ－12＝0
【問2 二次方程式の文章題】
（1）連続した３つの自然数がある。その最小の数の平方は、残りの２数の和に等しくなります。最小の数をｘとして、式をつくり連続する３つの自然数を求めなさい。ただし、途中の式も書きなさい。
（2）連続した3つの正の整数があり、最も大きい数の平方は他の２つの数の積の２倍より95小さい。このとき、この3つの数を求めよ。ただし、方程式を作り、求める途中の式も書け。
（3）連続する２つの奇数があり、小さい方の奇数を２乗して32を加えた数は，大きい方の奇数を９倍した数に等しい。このとき小さい方の奇数をｘとして、ｘの値を求めよ。ｘの値を求める過程も、式と計算を含めて書け。
（4）大小2つの数があって、その差は8で、積は9になるという。大小2つの数を求めなさい。ただし、方程式を作り、求める途中の式も書け。
（5）大小２つの自然数がある。大きい数は小さい数より４大きく、この２つの数の積は、この２つの数の和を5倍した数より４小さい。大きい数と小さい数をそれぞれ求めなさい。途中式も書け。
（6）図のように、縦10ｍ、横20ｍの花だんのまわりに、同じ幅の歩道をつけたら、歩道の面積は400ｍ2になりました。この道幅を求めなさい。ただし、方程式をつくり、求める過程も書け。
（7）図のような縦９ｃｍ，横１６ｃｍの長方形の土地に、縦と横に同じ幅の道をつくり、花だんを６つ作ったところ、６つの花だんの面積が長方形の土地の面積の7/12（12分の7）になりました。この道幅をｘｍとして、式をつくり道幅を求めなさい。ただし、途中の式も書きなさい。
（8）縦が24ｍ、横が35ｍの長方形の土地がある。図のように、長方形の各辺に面した部分がｘｍの道路をつけて、残りを畑にしたい。畑の面積が726ｍ2になるようなｘを求めなさい。途中式も書け。
（9）次の図のように、2つの長方形ABCD、EFGHがあり、辺EF上に辺ABがあります。 AB＝6cm、BC＝8cmで、頂点Cから辺GHまでの距離は、AEの長さ、BFの長さと同じです。 図のコの字の部分の面積が長方形ABCDの面積の半分になるとき、 頂点Cから辺GHまでの距離は何cmになりますか。頂点Cから辺GHまでの距離をxcmとして方程式をつくり、求めなさい。
【解答・解説】二次方程式
■二次方程式を解き方
- 平方根の利用
- 因数分解の利用
- 平方完成の利用
- 解の公式の利用
以上4つの解き方があります。
| 解き方 | 例題 | ポイント |
| 平方根の利用 | ｘ2＝36 | ｘ2の項と数字の方程式のときに使用 |
| 因数分解の利用 | ｘ2+5ｘ+6＝0 | ｘの項があるときに使用。 |
| 平方完成の利用 | ｘ2+6ｘ-8＝0 | 因数分解ができないときに使用 |
| 解の公式の利用 | ｘ2+7ｘ-8＝0 | 因数分解ができない。さらにxの係数が奇数のときに使用。 |
平方根の利用の時、ｘ2の係数が1以外の場合は、その係数で割ったり、くくるなりして方程式を整理してから解きます。
解の公式は、どの二次方程式を解く問題でも使用できますが、平方根や因数分解を利用できるときは、そちらで解いたほうがより早く、正確に答えを導けます。また、解の公式には、ｘの項が偶数のとき、より簡単な公式が存在します。
平方完成を利用するときは、ｘの係数が分数のときに、その威力がもっとも増します。
以上のように、二次方程式を解く問題には、4つの解法パターンがあるので、問題を数多くとき、慣れていきましょう。
【問1 二次方程式を解く】
（1）ｘ＝±3
（2）ｘ＝±√7/4
（3）ｘ＝-1,5
（4）ｘ＝3±√5
（5）ｘ＝5
（6）ｘ＝3、-4
（7）ｘ＝-1、-3
（8）ｘ＝1、-3
（9）ｘ＝-2,3
（10）ｘ＝0,5
（11）ｘ＝3,4
（12）ｘ＝4
（13）ｘ＝3±√5
（14）ｘ＝-6,8
（15）ｘ＝3,-4
（16）ｘ＝-1,4
（17）ｘ＝-4、6
（18）ｘ＝2、-6
【問2 二次方程式文章題】
（1）
ｘ2＝（ｘ+1）+（ｘ+2）
ｘ＝－1 、3
ｘ＝－１は問題に合わない。
（答え）3.4.5
（2）
真ん中の数をｘとすると、（ｘ－１）、ｘ、（ｘ+1）と表せる。
(x+1)2=2(x2-x)-95
ｘ＝－８ 、12
ｘ＝－８は問題に合わない。
（答え）11.12.13
（3）
小さい方の奇数をｘとおくと，大きい方の奇数はｘ＋２となる。
したがってｘ2＋32＝９（ｘ＋２）
ｘ＝２，７
ｘは奇数よりｘ＝２は不適
（答）ｘの値・・・７
（4）
小さい数をｘとすると、大きい数は（ｘ+8）と表せる。
ｘ（ｘ＋８）＝9
ｘ＝1 、－9
これは問題に合う。
（答）小さい数＝1ｃｍのとき、大きい数＝9ｃｍ小さい数＝－９ｃｍのとき、大きい数＝－１ｃｍ
（5）
ｘ（ｘ+4）＝5（2ｘ+4）－4
ｘ＝－２ 、 8
ｘ＝－２は問題に合わない。
（答え）小8 大12
（6）
（10+2ｘ）（20+2ｘ）-200＝400
ｘ＝5、-20
ｘ＝-20は問題に合わない。
（答え）5ｍ
（7）
（9-ｘ）（16-2ｘ）＝9×16×7/12
ｘ＝2 、15
ｘ＝15は問題に合わない。
（答え）2
（8）
（24-ｘ）（35-ｘ）＝726
ｘ＝2 、57
ｘ＝57は問題に合わない。
（答え）2
（9）
（６＋２ｘ）（８＋ｘ）-４８＝24
ｘ＝1 、-12
ｘ＝－-１２は問題に合わない。
（答え）1ｃｍ
コメント