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中1数学「空間図形のポイントまとめ及び定期対策テスト問題」

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中1数学「空間図形のポイントまとめ及び定期対策テスト問題」です。空間図形の名称・部位の名称を求める練習問題です。空間図形の導入の部分なので確実に各名称を言えるにようになりましょう。

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空間図形のポイントまとめ

多面体は、いくつの平面で囲まれた立体のことをいいます。その面の数によって、四面体、五面体、六面体…といいます。

正多面体は、多面体のうち、すべての面が合同な正多角形で、どの頂点に集まる面の数も等しく、へこみのないものをいいます。正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つです。

正多面体
左から正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体

正多面体 正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
面の数 12 20
辺の数 12 12 30 30
頂点の数 20 12
面の形 正三角形 正方形 正三角形 正五角形 正三角形

空間の位置関係

  • 平面…限りなく広がっている平らな面
  • 平面の決定…1直線上になり3点A,B,Cを含む平面はただ1つである。(2点A,Bを含む平面は無数にあるので)

■2平面の位置関係

  • 交わる
  • 平行である

■2平面の垂直
2平面P、Qとその交線lについて、l上に点Aをとり、P上にAB⊥lとなる直線AB、Q上にAC⊥lとなる直線ACをひいたとき、∠BACをPとQのつくる角といいます。つくる角が90°のとき、PとQは垂直であるといいP⊥Qと表します。

■直線と平面の位置関係

  • 直線が平面に含まれる
  • 交わる
  • 平行である

■直線と平面の垂直
直線lと平面P、その交点をHについて、lがHを通るP上のすべての直線と垂直であるとき、lとPは垂直であるといい、l⊥Pと書きます。

■点と平面の距離
点から平面にひいた垂線の長さ

■ねじれの位置

ねじれ

たとえば、上の図で、辺DCとのねじれの辺をすべて求めよ。

解法の手順

  1. 同じ面にない。=同じ面にあるものは、ねじれでない。
    上の図では、辺CB、辺AB、辺AD、辺DH、辺HE、辺EF、辺GF
  2. 平行でない。=平行なものは、ねじれでない。上の図では、辺EF
  3. 交わらない。

よって、残った辺GF、辺BF、辺HE、辺AEは、ねじれになる。これらは、①同じ面にない。②平行でない。③交わらない。よって、ここでは、辺ADとなる。

■2直線の位置関係

  • 1点で交わる
  • 平行である(同じ平面上のあり、交わらない。)
  • ねじれの位置(のちほど詳細)
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【対策問題】空間図形

【問1】次の問いに答えよ。
空間図形名称

  1. アの立体の名前を答えよ。
  2. イの立体の名前を答えよ。
  3. ウの立体の名前を答えよ。
  4. エの立体の名前を答えよ。
  5. オの立体の名前を答えよ。
  6. カの立体の名前を答えよ。
  7. イの立体の辺の数は何本か求めよ。
  8. オの立体は、何面体か求めよ。
  9. ア~カの立体のうち「~錐」と呼ばれる立体はいくかあるか求めよ。
  10. 「~錐」と呼ばれる立体の底面はいくかあるか求めよ。

【問2】次の図の立方体で、次の関係にある平面を答えなさい。
2平面の位置関係問題
(1)平面ABFEと平行な平面
(2)平面ABCDと平行な平面
(3)平面ABCDと垂直な平面
(4)平面BCGFと平行な平面
(5)平面ACGEと垂直な平面

【問3】次の三角柱で、次の関係にある直線、または平面を答えなさい。
直線と平面の位置関係問題
(1)平面ABC上にある直線
(2)平面ABCと垂直に交わる直線
(3)平面DEFと平行な直線
(4)直線BEと垂直な平面
(5)直線BEと平行な平面

【問4】次の図の立方体で、次の関係にある直線を答えなさい。
2直線の位置関係問題
(1)直線CGと交わる直線
(2)直線CGと平行な直線
(3)直線CGとねじれの位置にある直線

【解答】空間図形

【問1】

  1. 円錐
  2. 三角錐
  3. 円柱
  4. 六角柱
  5. 三角柱
  6. 6本
  7. 五面体
  8. 2つ
  9. 1つ

【問2】
(1)平面ABFEと平行な平面
(答え)平面DCGH

(2)平面ABCDと平行な平面
(答え)平面EFGH

(3)平面ABCDと垂直な平面
(答え)平面ABFE,平面AEHD、平面BFGC,平面CGHD

(4)平面BCGFと平行な平面
(答え)平面ADHE

(5)平面ACGEと垂直な平面
(答え)平面ABCD,平面EFGH

【問3】
(1)平面ABC上にある直線
(答え)直線AB,直線BC,直線AC

(2)平面ABCと垂直に交わる直線
(答え)直線AD,直線BE,直線CF

(3)平面DEFと平行な直線
(答え)直線AB,直線BC,直線AC

(4)直線BEと垂直な平面
(答え)平面ABC,平面DEF

(5)直線BEと平行な平面
(答え)平面ACFD

【問4】
(1)直線CGと交わる直線
(答)直線BC,直線CD,直線FG,直線GH

(2)直線CGと平行な直線
(答)直線AE,直線BF,直線DH

(3)直線CGとねじれの位置にある直線
(答)直線AB,直線EF,直線AD,直線EH

中学数学
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