中1数学「空間図形のポイントまとめ及び定期対策テスト問題」です。空間図形は、立体の性質や展開図、表面積・体積の求め方など、図形の理解力が試される重要な単元です。三角柱や円柱、角錐や球の特徴をしっかり押さえておくことで、テストでも確実に得点できます。
「立体のイメージがつかみにくい…」「展開図や投影図が苦手…」「表面積や体積の公式をうまく使えない…」と悩んでいる人もいるかもしれません。でも、ポイントを押さえて練習すれば、空間図形はしっかり攻略できます！この記事では、空間図形の重要ポイントを整理し、定期テストによく出る問題を厳選して解説します。しっかり復習して、テスト本番で高得点を目指しましょう！
空間図形のポイントまとめ
多面体は、いくつの平面で囲まれた立体のことをいいます。その面の数によって、四面体、五面体、六面体…といいます。
正多面体は、多面体のうち、すべての面が合同な正多角形で、どの頂点に集まる面の数も等しく、へこみのないものをいいます。正多面体は、正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体の5つです。
左から正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体
| 正多面体 | 正四面体 | 正六面体 | 正八面体 | 正十二面体 | 正二十面体 |
|---|---|---|---|---|---|
| 面の数 | ４ | ６ | ８ | １２ | ２０ |
| 辺の数 | ６ | １２ | １２ | ３０ | ３０ |
| 頂点の数 | ４ | ８ | ６ | ２０ | １２ |
| 面の形 | 正三角形 | 正方形 | 正三角形 | 正五角形 | 正三角形 |
空間の位置関係
- 平面…限りなく広がっている平らな面
- 平面の決定…1直線上になり3点A,B,Cを含む平面はただ1つである。（2点A,Bを含む平面は無数にあるので）
■2平面の位置関係
- 交わる
- 平行である
■2平面の垂直
2平面P、Qとその交線ｌについて、ｌ上に点Aをとり、P上にAB⊥ｌとなる直線AB、Q上にAC⊥ｌとなる直線ACをひいたとき、∠BACをPとQのつくる角といいます。つくる角が90°のとき、PとQは垂直であるといいP⊥Qと表します。
■直線と平面の位置関係
- 直線が平面に含まれる
- 交わる
- 平行である
■直線と平面の垂直
直線ｌと平面P、その交点をHについて、ｌがHを通るP上のすべての直線と垂直であるとき、ｌとPは垂直であるといい、ｌ⊥Pと書きます。
■点と平面の距離
点から平面にひいた垂線の長さ
■ねじれの位置
ねじれ
たとえば、上の図で、辺ＤＣとのねじれの辺をすべて求めよ。
解法の手順
- 同じ面にない。＝同じ面にあるものは、ねじれでない。
上の図では、辺ＣＢ、辺ＡＢ、辺ＡＤ、辺ＤＨ、辺ＨＥ、辺ＥＦ、辺ＧＦ - 平行でない。＝平行なものは、ねじれでない。上の図では、辺ＥＦ
- 交わらない。
よって、残った辺ＧＦ、辺ＢＦ、辺ＨＥ、辺ＡＥは、ねじれになる。これらは、①同じ面にない。②平行でない。③交わらない。よって、ここでは、辺ＡＤとなる。
■2直線の位置関係
- 1点で交わる
- 平行である（同じ平面上のあり、交わらない。）
- ねじれの位置（のちほど詳細）
【対策問題】空間図形
【問1】次の問いに答えよ。
- アの立体の名前を答えよ。
- イの立体の名前を答えよ。
- ウの立体の名前を答えよ。
- エの立体の名前を答えよ。
- オの立体の名前を答えよ。
- カの立体の名前を答えよ。
- イの立体の辺の数は何本か求めよ。
- オの立体は、何面体か求めよ。
- ア～カの立体のうち「～錐」と呼ばれる立体はいくかあるか求めよ。
- 「～錐」と呼ばれる立体の底面はいくかあるか求めよ。
【問2】次の図の立方体で、次の関係にある平面を答えなさい。
（1）平面ABFEと平行な平面
（2）平面ABCDと平行な平面
（3）平面ABCDと垂直な平面
（4）平面BCGFと平行な平面
（5）平面ACGEと垂直な平面
【問3】次の三角柱で、次の関係にある直線、または平面を答えなさい。
（1）平面ABC上にある直線
（2）平面ABCと垂直に交わる直線
（3）平面DEFと平行な直線
（4）直線BEと垂直な平面
（5）直線BEと平行な平面
【解答】空間図形
【問1】
- 円錐
- 三角錐
- 円柱
- 六角柱
- 三角柱
- 球
- 6本
- 五面体
- 2つ
- 1つ
【問2】
（1）平面ABFEと平行な平面
（答え）平面DCGH
（2）平面ABCDと平行な平面
（答え）平面EFGH
（3）平面ABCDと垂直な平面
（答え）平面ABFE,平面AEHD、平面BFGC,平面CGHD
（4）平面BCGFと平行な平面
（答え）平面ADHE
（5）平面ACGEと垂直な平面
（答え）平面ABCD,平面EFGH
【問3】
（1）平面ABC上にある直線
（答え）直線AB,直線BC,直線AC
（2）平面ABCと垂直に交わる直線
（答え）直線AD,直線BE,直線CF
（3）平面DEFと平行な直線
（答え）直線AB,直線BC,直線AC
（4）直線BEと垂直な平面
（答え）平面ABC,平面DEF
（5）直線BEと平行な平面
（答え）平面ACFD
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