中2数学「平面図形の角度を求める定期対策テスト問題」です。
【対策問題】平面図形の角度を求める
【問1 対頂角・同位角・錯角】
（1）
a//bのとき、∠ｘを求めよ。
（2）
a//bのとき、∠ｘを求めよ。
【問2 対頂角・同位角・錯角➋】
次の図のように直線l、mに、直線nが交わっています。次の角を答えなさい。
（1）∠aの同位角
（2）∠cの錯角
【問3 三角形の内角と外角】
（1）次の図で∠x、∠yの大きさを求めなさい。
（2）次の問いに答えよ。
- △ABCで∠A＝40°、∠B＝80°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝30°、∠B＝40°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝40°、∠B＝50°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝45°、∠B＝45°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝30°、∠B＝80°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝50°、∠B＝20°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝60°、∠B＝30°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝55°、∠B＝35°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝20°、∠B＝70°のとき△ABCは何という三角形か。
- △ABCで∠A＝120°、∠B＝30°のとき△ABCは何という三角形か。
【問4 多角形の内角の和】
次の問いに答えなさい。
（1）十角形の内角の和を求めなさい。
（2）内角の和が900°となるのは何角形ですか。
（3）1つの内角の大きさが144°である正多角形の内角の和を求めよ。
（4）1つの内角と1つの外角のそれぞれの大きさが、7：2になっているのは正何角形ですか。
（5）正n角形で、1つの内角の大きさが1つの外角の大きさの8倍になっているとき、nの値を求めなさい。
（6）次の図の∠xの大きさを求めなさい。
【問5 多角形の外角の和】
次の問いに答えなさい。
- 正六角形の1つの外角の大きさを求めなさい。
- 1つの外角の大きさが30°になるのは、正何角形ですか。
- 正十角形の1つの内角を求めなさい。
- 1つの内角の大きさが120°である正多角形の1つの外角の大きさを求めよ。
- 1つの外角の大きさが40°である正多角形を求めよ。
【解答・解説】平面図形の角度を求める
【問1 対頂角・同位角・錯角➊】
（1）25°
（2）133°
■同位角・錯角
- 2つの直線に1つの直線が交わるとき、2つの直線が平行ならば、同位角と錯覚は等しくなります。
- 2つの直線に1つの直線が交わるとき、同位角か錯覚が等しいならば、2つの直線は平行になります。
【問2 対頂角・同位角・錯角➋】
（1）∠e
（2）∠e
■平行線と角
ビジュアル（図）で覚えておくといいです。×型が対頂角、Ｆ型が同位角、クロス型が錯角のイメージですね。同位角は、錯角は、いつでも等しい角になるわけでなく、平行の2直線であればという条件がつくことをお忘れなく。直線で交わってできる向かいあった角のことを対頂角といいます。対頂角は等しくなります。
➊∠aと∠c、∠dと∠h、∠bと∠f、∠cと∠yのような位置にある2つの角を同位角という。
➋∠cと∠e、∠dと∠fのような位置にある2つの角を錯角という。
【問3 三角形の内角と外角】
（1）
∠x=95°
∠y=125°
（2）
- 鋭角三角形
- 鈍角三角形
- 直角三角形
- 直角二等辺三角形
- 鋭角三角形
- 鈍角三角形
- 直角三角形
- 直角三角形
- 直角三角形
- 二等辺三角形
■三角形
- 三角形の内角の性質…三角形の内角の和は180°です。
- 三角形の外角の性質…三角形の1つの外角は、そのとなりにない2つの内角の和に等しい。
■鋭角・鈍角
- 鋭角…0°より大きく90°より小さい角を鋭角といいます。
- 鈍角…90°より大きく180°より小さい角を鈍角といいます。
■三角形の種類
- 鋭角三角形…3つの内角がすべて鋭角である三角形
- 直角三角形…1つの内角が直角である三角形
- 鈍角三角形…1つの内角で鈍角である三角形
【問4 多角形の内角の和】
（1）1440°
（2）七角形
（3）1440°
（4）九角形
（5）十八角形
（6）65°
内角の和＝180（n-2）°■1つの内角
1つの内角＝180° -1つの外角（となりあう外角と内角は180°）です
■内角と外角
△ＡＢＣと辺ＢＣを延長した直線上の点をＤとします。このとき、∠ＡＣＤを頂点Ｃにおける外角といいます。辺ＡＣを延長してできる∠ＢＣＥも頂点Ｃにおける外角となります。外角に対して、△ＡＢＣの3つの角∠Ａ、∠Ｂ、∠Ｃを内角といいます。
■三角形の角度
- 三角形の3つの内角の和＝180°
- 三角形の1つの外角は、そのとなり合わない2つの内角の和に等しくなります。
【問5 多角形の外角の和】
- 60°
- 十二角形
- 144°
- 60°
- 九角形
■（正）n角形の角度の公式
- 内角の和＝180（ｎ-2）°
- 外角の和＝360° （多角形の外角の和は、辺の数にかかわらず360°）です。
- 1つの内角+1つの外角＝180° （となりあう外角と内角は180°）です。
- 1つの外角＝360÷n
- 1つの内角＝180°-1つの外角＝180°-（360/ｎ）
■対角線の本数
- 対角線の本数=n(n-3)/2（本）となることも覚えておきましょう。
【豆知識】対頂角・同位角・錯角が等しい理由
対頂角が等しいことの証明
∠ＧＰＥ＝100°のとき
∠ＧＰＥ＝∠ＦＰＨ＝100°
また、
∠ＥＰＨ＝180°-∠ＧＰＥ
＝180°-100°
＝80°
よって、
∠ＧＰＦ＝∠ＥＰＨ＝80° （対頂角は等しい）
同位角が等しいことの証明
∠ＡＥＰと∠ＥＢＨや∠ＧＰＦと∠ＰＨＣのような位置関係にある角を同位角といいます。ＥＦ//ＢＣのとき、∠ＡＥＰ＝∠ＥＢＨや∠ＧＰＦ＝∠ＰＨＣとなります。
同位角は等しいのでなく、2直線が平行であれば、同位角は等しくなるということを覚えておきましょう。
錯角が等しいことの証明
∠ＡＧＰと∠ＧＰＦや∠ＥＰＨと∠ＰＨＣのような位置関係にある角を錯角といいます。ＡＤ//ＥＦ//ＢＣのとき、∠ＡＧＰ＝∠ＧＰＦや∠ＥＰＨ＝∠ＰＨＣとなります。
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