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中2数学「平面図形の角度を求める定期対策テスト問題」

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中2数学「平面図形の角度を求める定期対策テスト問題」です。

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【対策問題】平面図形の角度を求める

【問1 対頂角・同位角・錯角】
(1)
角度練習問題1
a//bのとき、∠xを求めよ。

(2)
角度練習問題2
a//bのとき、∠xを求めよ。

【問2 対頂角・同位角・錯角➋】
次の図のように直線l、mに、直線nが交わっています。次の角を答えなさい。
対頂角・同位角・錯角問題・説明
(1)∠aの同位角
(2)∠cの錯角

【問3 三角形の内角と外角】
(1)次の図で∠x、∠yの大きさを求めなさい。
角度を求める

(2)次の問いに答えよ。

  1. △ABCで∠A=40°、∠B=80°のとき△ABCは何という三角形か。
  2. △ABCで∠A=30°、∠B=40°のとき△ABCは何という三角形か。
  3. △ABCで∠A=40°、∠B=50°のとき△ABCは何という三角形か。
  4. △ABCで∠A=45°、∠B=45°のとき△ABCは何という三角形か。
  5. △ABCで∠A=30°、∠B=80°のとき△ABCは何という三角形か。
  6. △ABCで∠A=50°、∠B=20°のとき△ABCは何という三角形か。
  7. △ABCで∠A=60°、∠B=30°のとき△ABCは何という三角形か。
  8. △ABCで∠A=55°、∠B=35°のとき△ABCは何という三角形か。
  9. △ABCで∠A=20°、∠B=70°のとき△ABCは何という三角形か。
  10. △ABCで∠A=120°、∠B=30°のとき△ABCは何という三角形か。

【問4 多角形の内角の和】
次の問いに答えなさい。
(1)十角形の内角の和を求めなさい。
(2)内角の和が900°となるのは何角形ですか。
(3)1つの内角の大きさが144°である正多角形の内角の和を求めよ。
(4)1つの内角と1つの外角のそれぞれの大きさが、7:2になっているのは正何角形ですか。
(5)正n角形で、1つの内角の大きさが1つの外角の大きさの8倍になっているとき、nの値を求めなさい。

(6)次の図の∠xの大きさを求めなさい。
内角の和問題

【問5 多角形の外角の和】
次の問いに答えなさい。

  1. 正六角形の1つの外角の大きさを求めなさい。
  2. 1つの外角の大きさが30°になるのは、正何角形ですか。
  3. 正十角形の1つの内角を求めなさい。
  4. 1つの内角の大きさが120°である正多角形の1つの外角の大きさを求めよ。
  5. 1つの外角の大きさが40°である正多角形を求めよ。

【解答・解説】平面図形の角度を求める

【問1 対頂角・同位角・錯角➊】
(1)25°
(2)133°

■同位角・錯角

  • 2つの直線に1つの直線が交わるとき、2つの直線が平行ならば、同位角と錯覚は等しくなります。
  • 2つの直線に1つの直線が交わるとき、同位角か錯覚が等しいならば、2つの直線は平行になります。

【問2 対頂角・同位角・錯角➋】
(1)∠e
(2)∠e

2直線に1つの直線が交わっている角について、交点に対して同じ位置にある2つの角を同位角という。また、2直線の内側にできる4つの角のうち、斜めに交差している角を錯角という。

■平行線と角
ビジュアル(図)で覚えておくといいです。×型が対頂角、F型が同位角、クロス型が錯角のイメージですね。同位角は、錯角は、いつでも等しい角になるわけでなく、平行の2直線であればという条件がつくことをお忘れなく。直線で交わってできる向かいあった角のことを対頂角といいます。対頂角は等しくなります。

対頂角・同位角・錯角問題・説明
➊∠aと∠c、∠dと∠h、∠bと∠f、∠cと∠yのような位置にある2つの角を同位角という。
➋∠cと∠e、∠dと∠fのような位置にある2つの角を錯角という。

【問3 三角形の内角と外角】
(1)
∠x=95°
∠y=125°

(2)

  1. 鋭角三角形
  2. 鈍角三角形
  3. 直角三角形
  4. 直角二等辺三角形
  5. 鋭角三角形
  6. 鈍角三角形
  7. 直角三角形
  8. 直角三角形
  9. 直角三角形
  10. 二等辺三角形

■三角形

  • 三角形の内角の性質…三角形の内角の和は180°です。
  • 三角形の外角の性質…三角形の1つの外角は、そのとなりにない2つの内角の和に等しい。

■鋭角・鈍角

  • 鋭角…0°より大きく90°より小さい角を鋭角といいます。
  • 鈍角…90°より大きく180°より小さい角を鈍角といいます。

■三角形の種類

  • 鋭角三角形…3つの内角がすべて鋭角である三角形
  • 直角三角形…1つの内角が直角である三角形
  • 鈍角三角形…1つの内角で鈍角である三角形

【問4 多角形の内角の和】
(1)1440°
(2)七角形
(3)1440°
(4)九角形
(5)十八角形
(6)65°

■n角形の内角の和
内角の和=180(n-2)°■1つの内角
1つの内角=180° -1つの外角(となりあう外角と内角は180°)です

■内角と外角
△ABCと辺BCを延長した直線上の点をDとします。このとき、∠ACDを頂点Cにおける外角といいます。辺ACを延長してできる∠BCEも頂点Cにおける外角となります。外角に対して、△ABCの3つの角∠A、∠B、∠Cを内角といいます。

■三角形の角度

  • 三角形の3つの内角の和=180°
  • 三角形の1つの外角は、そのとなり合わない2つの内角の和に等しくなります。

【問5 多角形の外角の和】

  1. 60°
  2. 十二角形
  3. 144°
  4. 60°
  5. 九角形
5つの公式を使いこなせるようになりましょう。入試やテストで出題されたら、確実に得点していきましょう。特に、正多角形における1つの内角の大きさを求める問題は、よく出題されます。

■(正)n角形の角度の公式

  • 内角の和=180(n-2)°
  • 外角の和=360° (多角形の外角の和は、辺の数にかかわらず360°)です。
  • 1つの内角+1つの外角=180° (となりあう外角と内角は180°)です。
  • 1つの外角=360÷n
  • 1つの内角=180°-1つの外角=180°-(360/n)

■対角線の本数

  • 対角線の本数=n(n-3)/2(本)となることも覚えておきましょう。

【豆知識】対頂角・同位角・錯角が等しい理由

対頂角が等しいことの証明
角度
∠GPE=100°のとき
∠GPE=∠FPH=100°

また、
∠EPH=180°-∠GPE
=180°-100°
=80°
よって、
∠GPF=∠EPH=80° (対頂角は等しい)

同位角が等しいことの証明
角度
∠AEPと∠EBHや∠GPFと∠PHCのような位置関係にある角を同位角といいます。EF//BCのとき、∠AEP=∠EBHや∠GPF=∠PHCとなります。

同位角は等しいのでなく、2直線が平行であれば、同位角は等しくなるということを覚えておきましょう。

錯角が等しいことの証明
角度
∠AGPと∠GPFや∠EPHと∠PHCのような位置関係にある角を錯角といいます。AD//EF//BCのとき、∠AGP=∠GPFや∠EPH=∠PHCとなります。

錯角は等しいのでなく、2直線が平行であれば、錯角は等しくなるということを覚えておきましょう。

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