中3数学「相似の証明の解き方」

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中3数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。代表的なパターンの例題を見ながら、相似の証明についてみていきます。入試でも頻出度の高いところです。確実に習得しましょう。それでは、中3数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめをみていきましょう。

相似の証明

相似証明
図には、∠A=90°である直角三角形ABCでAからBCに垂線ADをひきます。このとき、△ABCと△DBAであることを証明せよ。

△ABCと△DBAにおいて
∠BAC=∠BDA=90°…①
∠Bは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△DBA

2辺の比が等しいことを証明する場合。
相似証明
図には、∠A=90°である直角三角形ABCでAからBCに垂線ADをひきます。このとき、BC:BA=BA:BDであることを証明せよ。

△ABCと△DBAにおいて
∠BAC=∠BDA=90°…①
∠Bは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△DBA
相似な図形の対応をする辺の比は等しいから
BC:BA=BA:BD

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よくある間違い

先ほどの問題を例にとると

∠BAC=∠BDA=90°…①
∠ACB=∠DAB…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABC∽△DBA

ここで、∠ACB=∠DABは、条件にないので、使用することはできません。条件にないものは、使えない!これは覚えておきましょう。

相似の練習問題

相似証明練習
上の図の△ABCで、点B、Cから辺AC,ABにそれぞれ垂線BD,CEをひくとき、△ABD∽△ACEになることを証明しなさい。

相似の解答

△ABDと△ACEにおいて
∠BDA=CEA=90°…①
∠Aは共通…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ABD∽△ACE

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題1

共通する弧の円周角と相似1
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。

解答1

△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題2

共通する弧の円周角と相似2
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。

解答2

△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE

共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題3

共通する弧の円周角と相似3
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。

解答3

△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE

以上が、中3数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。三角形の相似条件は、「3組の辺の比がすべて等しい。」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。」「2組の角がそれぞれ等しい。」なので、まずは、「2組の角がそれぞれ等しい。」が使えないかということから、証明問題は解き始めます。今回は、いずれも、「2組の角がそれぞれ等しい。」だったように、非常に、「2組の角がそれぞれ等しい。」という条件になることが多いです。

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