中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。代表的なパターンの例題を見ながら、相似の証明についてみていきます。入試でも頻出度の高いところです。確実に習得しましょう。それでは、中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめをみていきましょう。
相似の証明
図には、∠Ａ＝90°である直角三角形ＡＢＣでＡからＢＣに垂線ＡＤをひきます。このとき、△ＡＢＣと△ＤＢＡであることを証明せよ。
△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠Ｂは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
2辺の比が等しいことを証明する場合。
図には、∠Ａ＝90°である直角三角形ＡＢＣでＡからＢＣに垂線ＡＤをひきます。このとき、ＢＣ：ＢＡ＝ＢＡ：ＢＤであることを証明せよ。
△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠Ｂは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
相似な図形の対応をする辺の比は等しいから
ＢＣ：ＢＡ＝ＢＡ：ＢＤ
よくある間違い
先ほどの問題を例にとると
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢ…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
ここで、∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢは、条件にないので、使用することはできません。条件にないものは、使えない！これは覚えておきましょう。
練習問題
上の図の△ＡＢＣで、点Ｂ、Ｃから辺ＡＣ，ＡＢにそれぞれ垂線ＢＤ，ＣＥをひくとき、△ＡＢＤ∽△ＡＣＥになることを証明しなさい。
解答
△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて
∠ＢＤＡ＝ＣＥＡ＝90°…①
∠Ａは共通…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ
以上が、中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。三角形の相似条件は、「3組の辺の比がすべて等しい。」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。」「2組の角がそれぞれ等しい。」なので、まずは、「2組の角がそれぞれ等しい。」が使えないかということから、証明問題は解き始めます。今回は、いずれも、「2組の角がそれぞれ等しい。」だったように、非常に、「2組の角がそれぞれ等しい。」という条件になることが多いです。
