中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。代表的なパターンの例題を見ながら、相似の証明についてみていきます。入試でも頻出度の高いところです。確実に習得しましょう。それでは、中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめをみていきましょう。
相似の証明
図には、∠Ａ＝90°である直角三角形ＡＢＣでＡからＢＣに垂線ＡＤをひきます。このとき、△ＡＢＣと△ＤＢＡであることを証明せよ。
△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠Ｂは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
2辺の比が等しいことを証明する場合。
図には、∠Ａ＝90°である直角三角形ＡＢＣでＡからＢＣに垂線ＡＤをひきます。このとき、ＢＣ：ＢＡ＝ＢＡ：ＢＤであることを証明せよ。
△ＡＢＣと△ＤＢＡにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠Ｂは共通…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
相似な図形の対応をする辺の比は等しいから
ＢＣ：ＢＡ＝ＢＡ：ＢＤ
よくある間違い
先ほどの問題を例にとると
∠ＢＡＣ＝∠ＢＤＡ＝90°…①
∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢ…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＣ∽△ＤＢＡ
ここで、∠ＡＣＢ＝∠ＤＡＢは、条件にないので、使用することはできません。条件にないものは、使えない！これは覚えておきましょう。
相似の練習問題
上の図の△ＡＢＣで、点Ｂ、Ｃから辺ＡＣ，ＡＢにそれぞれ垂線ＢＤ，ＣＥをひくとき、△ＡＢＤ∽△ＡＣＥになることを証明しなさい。
相似の解答
△ＡＢＤと△ＡＣＥにおいて
∠ＢＤＡ＝ＣＥＡ＝90°…①
∠Ａは共通…②
①②より2組の角がそれぞれ等しいので、
△ＡＢＤ∽△ＡＣＥ
共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題1
図のように、円Oの円周上に5点A,B,C,D,Eがある。BE//CDで、BE上にFとGがある。このとき、△ABG∽△EDGであることを証明せよ。
解答1
△ABGと△EDGにおいて、
対頂角より ∠AGB=∠EGD…①
弧BDに対する円周角より ∠BAG=∠DEG…②
①②より、2組の角がそれぞれ等しいので
△ABG∽△EDG
共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題2
図のように、円Oの円周上に点A,B,Cを結んでできる△ABCがある∠ABCの二等分線と辺AC,円Oとの交点をそれぞれD,Eとする。このとき△DCE∽△CBEを証明しなさい。
解答2
△DCEと△CBEにおいて、
共通の角より ∠DEC=∠CEB…①
仮定より ∠CBE=∠ABD…②
弧AEに対する円周角より ∠DCE=∠ABD…③
②③より、∠CBE=∠DCE…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△DCE∽△CBE
共通する弧の円周角を用いた相似の証明代表問題3
図は、線分ABを直径とする円Oがある。弧AB上に点Eをとり、∠ABEの二等分線と円O,線分AEとの交点をそれぞれF,Gとしたものです。このとき、△EFB∽△GFEであることを証明せよ。
解答3
△EFBと△GFEにおいて、
共通の角より ∠EFB=∠GFE…①
仮定より ∠EBF=∠ABF…②
弧AFに対する円周角より ∠GEF=∠ABF…③②③より、∠EBF=∠GEF…④
①④より、2組の角がそれぞれ等しいので
△EFB∽△GFE
以上が、中３数学の「相似の証明」の解き方・仕方のまとめです。三角形の相似条件は、「3組の辺の比がすべて等しい。」「2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。」「2組の角がそれぞれ等しい。」なので、まずは、「2組の角がそれぞれ等しい。」が使えないかということから、証明問題は解き始めます。今回は、いずれも、「2組の角がそれぞれ等しい。」だったように、非常に、「2組の角がそれぞれ等しい。」という条件になることが多いです。
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