中学数学「三平方の定理の定期対策テスト問題」ポイント解説付

中学数学「三平方の定理の練習問題」定期テスト対策・典型問題を解こうです。

三平方の定理の練習問題一覧

三平方の定理の練習問題一覧

・直角三角形の3辺の関係
・三平方の定理の逆
・特別な角をもつ直角三角形
・正三角形の高さと面積
・弦の長さ
・2点間の距離
・直方体の対角線
・正四角錐の高さと体積
などから構成しています。

【対策問題】直角三角形の3辺の関係

次の図の直角三角形で、xの値を求めなさい。

【解答】

■三平方の定理
直角三角形において
斜辺の2乗は、他の2辺の2乗の和

（1）x=5
（2）x=2√2
（3）x=3√2
（4）x=4√3

【対策問題】三平方の定理の逆

次の長さを3辺とするア～ウの三角形のうち、直角三角形はどれですか。
ア　1cm、3cm、√13cm
イ　3cm、6cm、8cm
ウ　12cm、16cm、20cm

【解答】

■三平方の定理の逆
三角形の3辺において、a²+b²=c²が成り立つと直角三角形になる。

次の長さを3辺とするア～ウの三角形のうち、直角三角形はどれですか。
ア　1cm、3cm、√13cm
1²+3²=10 　(√13)²=13　直角三角形でない。

イ　3cm、6cm、8cm
3²+6²＝45　8²＝64　直角三角形でない。

ウ　12cm、16cm、20cm
12²+16²＝400　20²＝400　直角三角形である。

（答え）ウ

【対策問題】特別な角をもつ直角三角形

下の図で、xの値を求めなさい。※（4）は1辺18の正方形

【解答】

■特別な角をもつ直角三角形

・30°、60°、90°の三角形の3辺の長さの比は、1:2:√3であることを利用する。
・直角二等辺三角形の3辺の長さの比は、1:1:√2であることを利用する。

（1）4√3
（2）8√2
（3）40√3/3
（4）9√2

【対策問題】正三角形の高さと面積

1辺の長さが8cmの正三角形の高さと面積を求めなさい。

【解答】

頂点Aから辺BCに垂線AHをひく。このときHはBCの中点になり
BH=4cm

△ABHで三平方の定理より
AH2+BH2=AB2
AH2+42=82
AH2=48
AH＞0より
AH＝4√3
したがって高さは4√3cm

面積は
1/2×8×4√3＝16√3cm²

【対策問題】弦の長さ

半径6cmの円Oで、中心Oからの距離が5cmである弦の長さを求めなさい。

【解答】

円の中心から5cmの距離にある弦をABとし、中心Oから弦ABに垂線OHを引く。
このとき、△OABはOA＝OBに二等辺三角形になる。
Hは弦ABの中点、△OAHは直角三角形。
また、OA=6cm、OH=5cm、AH=xcmとする、
x2+52=62
x2=11
x=±√11
x>0だから
x=√11
AB=2√11cm
したがって、弦の長さは2√11cm