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中学数学「相似な図形の定期対策テスト問題」ポイント解説付

2023.01.10
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中学数学「相似な図形の練習問題」です。定期テスト対策として、典型問題を解いて備えよう。

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相似な図形の対策問題の一覧

・三角形の相似条件と証明
・平行線と線分の比
・線分の比と相似比
・中点連結定理
・相似な図形の面積
・相似な立体の表面積・体積
などから構成しています。

【対策問題】三角形の相似条件と証明

相似な図形
図で、∠Ａ＝∠Ｄ、∠Ｃ＝∠Ｆが等しいとき、△ＡＢＣと△ＤＥＦが相似であることを証明せよ。

【解答】
△ＡＢＣと△ＤＥＦにおいて
∠ＢＡＣ＝∠ＥＤＦ（仮定）…①
∠ＢＣＡ＝∠ＥＦＤ（仮定）…②

①②より、2組の角がそれぞれ等しい。
よって、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦとなります。

■三角形の相似条件

  • 3組の辺の比がすべて等しい。
  • 2組の辺の比とその間の角がそれぞれ等しい。
  • 2組の角がそれぞれ等しい。

■理由になりうるもの

  • 仮定より
  • 共通だから
  • 対頂角だから
  • ℓ//ｍで錯角が等しいから
  • ℓ//ｍで同位角が等しいから
  • 弧ABの円周角だから
  • 中点連結定理より

などがあります。しっかり、問題を文を読んで、上記の（理由）になりえないか探しましょう。また、相似の証明では、「2組の角がそれぞれ等しい。」の条件にならないかを探り、証明していくのが王道です。それが該当しないとき、辺の長さや辺の比から、他の条件を探っていきます。

【対策問題】平行線と線分の比

次の図を見て、問いに答えなさい。

（1）ＡＤ＝8、ＡＢ＝12、ＤＥ＝6、ＤＥ//ＢＣのとき、ＢＣの値を求めよ。
（2）ＡＤ＝6、ＡＢ＝9、ＡＣ＝12、ＤＥ//ＢＣのとき、ＡＥの値を求めよ。
（3）ＡＢ＝18、ＤＥ＝3、ＢＣ＝9、ＤＥ//ＢＣのとき、ＢＤの値を求めよ。
（4）ＡＤ＝10、ＤＥ＝3、ＢＣ＝9、ＤＥ//ＢＣのとき、ＢＤの値を求めよ。

次の図を見て、問いに答えなさい。

（5）ＤＥ＝6、ＢＣ＝9、ＤＡ＝4、ＤＥ//ＢＣのとき、ＡＣの値を求めよ。
（6）ＡＥ＝9、ＡＢ＝15、ＤＡ＝6、ＤＥ//ＢＣのとき、ＡＣの値を求めよ。
（7）次の図で、ＤＥ＝9、ＢＣ＝15、ＡＥ＝6、ＤＥ//ＢＣのとき、ＡＢの値を求めよ。

次の図を見て、問いに答えなさい。

（8）ＡＤ＝4、ＤＢ＝8、ＡＥ＝5、ＤＥ//ＢＣのとき、ＣＥの値を求めよ。
（9）ＡＤ＝3、ＤＢ＝7、ＡＣ＝20、ＤＥ//ＢＣのとき、ＣＥの値を求めよ。
（10）ＢＣ＝8　、Ｄ、Ｅがそれぞれ辺ＡＢ、辺ＡＣの中点であるとき、ＤＥの値を求めよ。

【解答】

■相似の三角形の線分比の求め方

  1. 相似の組を見つけ出す。「帽子型」と「砂時計型」が中心。
  2. 対応する辺に気をつけて、比例式を完成。
  3. それを解く。普通、簡単な整数比で表すので、小数や分数の場合は、両方の倍数をかけるなどして整理する。
  1. 9
  2. 8
  3. 12
  4. 20
  5. 6
  6. 9
  7. 9
  8. 10
  9. 14
  10. 4

【対策問題】線分の比と相似比

【問1】
相似な図形
図は、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦでＡＢ＝4、ＤＥ＝8です。

（1）相似比を求めなさい。
（2）辺ACの長さを求めなさい。

【問2】
相似な図形
図において、△ＡＢＣ∽△ＤＥＦのとき、ＡＢ＝6、ＡＣ＝5、ＤＥ＝12のとき、辺ＤＦの長さを求めなさい。

【解答】
【問1】
（1）相似比を表すと
ＡＢ：ＤＥ＝4：8
＝1：2

（2）辺ＡＣの長さを求めると
ＡＣ＝ｘとして、
2：1＝6：ｘ
2ｘ＝6
ｘ＝3

したがって、ＡＣ＝3となります。

【問2】
相似比は6：12＝1：2だから、ＤＦ＝ｘとすると
1：2＝5：ｘ
ｘ＝10
よって、ＤＦ＝10となります。

■相似な図形
1つの図形を、形を変えずに拡大または縮小して得られる図形は、もとの図形と相似であるといい、記号∽を使って表します。相似な図形図では、△ＡＢＣと、その各辺を2倍に拡大した△ＤＥＦがあります。

2つの三角形が相似であることを記号∽を使って表すと
△ＡＢＣ∽△ＤＥＦとなります。（対応させる必要があります。）

辺ＡＢと辺ＤＥの長さの関係は、
ＤＥ＝2ＡＢ（もし、3倍に拡大されたものであるのなら、ＤＥ＝3ＡＢ）

∠Ａと∠Ｄの大きさの関係は
∠Ａ＝∠Ｄ

【対策問題】中点連結定理

【問1】次の図の△ABCで、点D,E,Fは、それぞれ辺AB、BC、CAの中点です。辺DEFの周の長さを求めなさい。
中点連結定理問題1

【問2】次の図の△ABCで、辺BCの中点をD、辺CAを3等分する点E,Fとし、ADとBFの交点をGとするとき、次の問いに答えなさい。
中点連結定理問題2
（1）DEの長さを求めなさい。
（2）BGの長さを求めなさい。

【解答】
【問1】
DF=1/2BC=5.5cm
DE=1/2AC=6cm
EF=1/2BA=5cm
よって、辺DEFの周の長さは
5.5+6+5+＝16.5cm

（答え）16.5cm

【問2】
（1）△CBFで中点連結定理を使う。
（答え）5cm

（2）△ADEで中点連結定理を使い、BF-GFでＢＧの長さを求める。
（答え）7.5cm

【対策問題】相似な図形の面積

【問1】次の図について、次の問いに答えなさい。
相似な図形の面積比問題1
（1）△ABCと△DBEの相似比を求めなさい。
（2）△ABCと△DBEの周の長さの比を求めなさい。
（3）△ABCと△DBEの面積比を求めなさい。

【問2】次の図で、四角形ABCDと四角形EBGFはいずれも正方形で、PとQの面積比は、4：5です。これについて、次の問いに答えなさい。
相似な図形の面積比問題2
（1）Qの面積を求めなさい。
（2）GCの長さを求めなさい。

【解答】

相似比がa:bならば
・周の長さの比はa:b
・面積の比はa2:b2

【問1】
（1）2：1
（2）2：1
（3）4：1

【問2】
（1）20cm2
（2）2cm

【対策問題】相似な立体の表面積・体積

【問1】図のように、相似な2つに四角柱P,Qがあって、PとQの相似比は4：3である。このとき次の問いに答えなさい。
相似な立体の表面積・体積問題1
(1)Qの表面積が135cm2のとき、Pの表面積を求めなさい。
(2)Pの体積が192cm3のとき、Qの体積を求めなさい。

【問2】図のような円錐を、母線OAを3等分する点B,Cを通り、底面に平行な平面で切って、3つの立体P,Q,Rに分けるとき、次の問いに答えなさい。
相似な立体の表面積・体積問題2
(1)立体Pと立体Qの側面積の比を求めなさい。
(2)OH=18cm,AH=6cmとするとき、立体Rの体積を求めなさい。

【解答】

相似比がa:bならば
・表面積の比はa2:b2
・体積の比はa3:b3

【問1】
（1）16:9=x:135
9x=2160
x=240

（答え）240cm2

（2）64:27＝192:x
64x=5184
x=81

（答え）81cm3

【問2】
（1）1：4

（2）
立体の体積
=1/3×36×18
＝216

求める体積R
=216×19/27
＝152

（答え）152cm3

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