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高1数学「1学期定期テスト(数Ⅰ)過去問分析問題」高校数学準備にも

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高1数学「1学期定期テスト(数Ⅰ)過去問分析問題」です。高校数学準備にもお役立てください。

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1学期定期テスト(数Ⅰ)問題一覧

・次数と係数
・乗法の公式の利用
・不等式
・分母の有理化と式の値
・2次方程式の判別式
から構成しています。

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次数と係数

問1 xについて考えるとき、次の単項式の次数と係数を答えなさい。
(1)3x2
(2)-6x4
(3)-x3y
(4)-3a2bx3

問2 次の整式はxについて何次式か。また、各項の係数、および定数項を求めなさい。
(1)2x2+x+4
(2)-x3-6x2+3
(3)x2+2ax+a2
(4)3x3y-5xy2-7y3

問3 整式-x3+2x2y-3y2について、次の問いに答えなさい。
(1)xについて何次式か。また、各項の係数、および定数項を求めなさい。
(2)yについて何次式か。また、各項の係数、および定数項を求めなさい。

次数と係数の解答

問1
(1)次数…2 係数…3
(2)次数…4 係数…-6
(3)次数…3 係数…-y
(4)次数…3 係数…-3a2b

・かけ合わされているxの個数が次数、x以外の部分が係数。
・文字が1つもかけ合わされていないとき(定数項のとき)、次数は0と考える。たとえば、xについて考えたとき、3y2には、xは1つもかけ合わされていないので、次数は0になる。

問2
(1)2次式 x2の係数…2 xの係数…1 定数項…4
(2)3次式 x3の係数…-1 x2の係数…-3 定数項…3
(3)2次式 x2の係数…1 xの係数…2a 定数項…a2
(4)3次式 x3の係数…3y xの係数…-5y2 定数項…-7y3

xに着目して、その他の文字は定数と考える。

問3
(1)3次式 x3の係数…-1 x2の係数…2y 定数項…-3y2

xに着目して、その他の文字は定数と考える。

(2)2次式 y2の係数…-3 yの係数…2x2 定数項…-x3

yに着目して、その他の文字は定数と考える。
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乗法の公式の利用

問1 次の式を展開しなさい。

(1)(a-b+c)2
(2)(x+y-2z)2
(3)(a-b-c)2

(4)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)
(5)(a+b+c)(a+b-c)
(6)(3x-y-1)(3x-y+1)
(7)(a2-a+2)(a2-a-2)

(8)(x+2)(x-2)(x2+4)
(9)(x-3)(x+3)(x2+9)
(10)(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)

(11)(x+3)3
(12)(x+2)(x2-2x+4)
(13)(3a-b)(9a2+3ab+b2)

乗法の公式の利用の解答

(1)(a-b+c)2

a-bをAとすると
(A+c)2
=A2+2Ac+c2
=(a-b)2+2(a-b)c+c2
=a2-2ab-b2+2ac-2bc+c2
=a2+b2+c2-2ab-2bc+2ca

公式として、
(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca

(2)(x+y-2z)2
=x2+y2+4z2+2xy-4yz-4zx

(3)(a-b-c)2
=a2+b2+c2-2ab+2bc-2ca

(4)(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)

x2+y+=Aとおくと、

(A+xy)(A-xy)
=A2-(xy)2
=(x2+y2)2-(xy)2
=x4+2x2y2+y4-x2y2
=x4+x2y2+y4

(5)(a+b+c)(a+b-c)
=a2+b2-c2+2ab

(6)(3x-y-1)(3x-y+1)
=9x2-6xy+y2-1

(7)(a2-a+2)(a2-a-2)
=a4-2a3+a2-4

(8)(x+2)(x-2)(x2+4)

(x+2)(x-2)を先に展開する

=(x2-4)(x2+4)
=x4-16

(9)(x-3)(x+3)(x2+9)
=(x2-9)(x2+9)
=x4-81

(10)(x+y)(x-y)(x2+y2)(x4+y4)
=(x2-y2)(x2+y2)(x4+y4)
=(x4-y4)(x4+y4)
=x8-y8

(11)(x+3)3

公式
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3
(a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3

=x3+9x2+27x+27

(12)(x+2)(x2-2x+4)

公式
(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3
(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3

=x3+8

(13)(3a-b)(9a2+3ab+b2)
=27a3-b3

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不等式

問1 次の不等式を解きなさい。
(1)-7x<14

(2)2(x+4)>5(x-2)

問2 不等式5x-7≧2x+9を満たす自然数をすべて求めよ。

問3 次の問いに答えなさい。
(1)ある1桁の自然数を2倍にして14をたした数は、もとの数から2を引いて5倍した数より小さくなる。もとの数を求めなさい。

(2)ある博物館の入館料は1人350円ですが、30人以上の団体なら1人の入館料が25%引きなる。30人以上より少ない人数でも30人の団体として入館した方が安くなるのは、何人以上のときか、求めなさい。

(3)1個250円のおにぎりと、1個150円のお茶を合わせて15個買い、代金を3000円以下にしたい。おにぎりをできるだけ多く買うとすると、おにぎりは何個まで買うことができるか、求めなさい。

問4 次の連立不等式を解きなさい。
・2x+3≧x-1…①
・x-2>3x-4…②

不等式の解答

問1 次の不等式を解きなさい。
(1)-7x<14
x>-2

両辺を負の数で割ると、不等号の向きが変わることに注意する。

(2)2(x+4)>5(x-2)
x<6

問2 不等式5x-7≧2x+9を満たす自然数をすべて求めよ。
x≦16/3=5.33……
よって、不等号を満たす自然数は、1.2.3.4.5である。

問3 次の問いに答えなさい。
(1)ある1桁の自然数を2倍にして14をたした数は、もとの数から2を引いて5倍した数より小さくなる。もとの数を求めなさい。

もとの数をxとすると、条件より
2x+14<5(x-2)

2x+14<5x-10

-3<-24

x>8

この不等式を満たす1けたの自然数は9である。

(2)ある博物館の入館料は1人350円ですが、30人以上の団体なら1人の入館料が25%引きなる。30人以上より少ない人数でも30人の団体として入館した方が安くなるのは、何人以上のときか、求めなさい。

x人入館とする。
350x>350×(1-0.25)×30
x>30・(1-0.25)
x>22.5

この不等式を満たす最小の自然数は23である。
よって、23人以上のとき安くなる。

(3)1個250円のおにぎりと、1個150円のお茶を合わせて15個買い、代金を3000円以下にしたい。おにぎりをできるだけ多く買うとすると、おにぎりは何個まで買うことができるか、求めなさい。

おにぎりをx個買うとき、お茶は(15-x)個買うことになる。

250x+150(15-x)≦3000
250x+2250-150x≦3000
100x≦750
x≦7.5

この不等式を満たす最大の整数は7である。
よって、7個までおにぎりを買うことができる。

問4 次の連立不等式を解きなさい。
・2x+3≧x-1…①
・x-2>3x-4…②

①を解くと、x≧-4
②を解くと、x<1

よって、-4≦x<1

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分母の有理化と式の値

式の分母を有理化と式の値を求める問題です。
分母の有理化と式の値の問題

分母の有理化と式の値の解説・解答

定期テストではここが狙われる!
・分母が根号を含む多項式になっている有理化は、乗法の公式を使って、整数にしていきます。
・与えられた式が、2乗、3乗のときは、基本対称式を使います。

問1
(1)√15+2√3
(2)5+2√6

分母の有理化…分母を整数にする。
・(a+b)(a-b)などを利用する。

問2
(1)6
(2)1
(3)198
基本対称式

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2次方程式の判別式

問1 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。
(1)x2+5x-2=0
(2)x2+x+1=0

問2 2次方程式x2-mx-m+8=0が重解をもつとき、定数mの値を求めよ。

問3 2次方程式x2-2x+m=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。

問4 正方形の土地がある。この土地の縦の長さを3m、横の長さを6m長くすると、元の面積の3倍になった。元の土地の面積を求めよ。

2次方程式の判別式の解答

2次方程式の実数解の個数を調べるときは、判別式を使う。判別式とは、二次式の多項式 ax2+bx+cに対して、b2-4acのことです。判別式は英語で、「discriminant」となるので、今後、判別式はDの記号を用います。D>0で実数解は2個、D=0で実数解は1個(重解)、D<0で実数解はなし

問1 次の2次方程式の実数解の個数を求めよ。
(1)x2+5x-2=0
2次方程式の判別式D=33>0より、
2個

(2)x2+x+1=0
2次方程式の判別式D=-3<0より、
0個

問2 2次方程式x2-mx-m+8=0が重解をもつとき、定数mの値を求めよ。
重解をもつのは、2次方程式の判別式D=0より
D=(-m)2-4・1・(-m+8)=0
m2-4m-32=0
(m+8)(m-4)=0
m=-8,4

問3 2次方程式x2-2x+m=0が異なる2つの実数解をもつとき、定数mの値の範囲を求めよ。
異なる実数解をもつのは、2次方程式の判別式D>0より
D=(-2)2-4・1・m>0
4-4m>0
-4m>-4より
m<1

問4 正方形の土地がある。この土地の縦の長さを3m、横の長さを6m長くすると、元の面積の3倍になった。元の土地の面積を求めよ。

元の土地の1辺の長さをxmとする。

縦を3m、横を6m長くすると、土地の面積は(x+3)(x+6)
題意より、(x+3)(x+6)=3x2
これを解くと、x=-3/2、6
x>0であるから、x=6

よって、元の土地の面積は36m2となる。

中学数学
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ダイスト

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