中3数学「1学期期末テスト予想問題」確率と展開・因数分解の利用を完全攻略！

中3数学の1学期期末テスト予想問題です。1学期期末テストでは、「確率」と「展開・因数分解の利用」が重要なポイントとなります。確率は、日常生活の中で直面する問題を数学的に解く力を養うテーマで、展開と因数分解を使った問題では、これまで学んだ知識を実践的に活用する力が試されます。どちらも一見難しそうに感じるかもしれませんが、基本的な考え方をしっかりと理解し、問題に慣れることで自信を持って解けるようになります。
この記事では、確率の基本的な計算方法や、展開・因数分解の利用方法について、よく出る問題を例にしながら詳しく解説します。テストで高得点を取るためのポイントを押さえて、万全の準備を整えましょう！
中2で習った確率～中3平方根の計算までがテスト範囲となります。

テストが異なる場合は、該当するテストを解きましょう！
テスト	中1数学	中2数学	中3数学
1学期中間	小学校復習・正負の数	文字式	展開①・因数分解①
1学期期末	四則の計算	連立方程式①	今回：確率・展開②・因数分解②
2学期中間	一次方程式①	連立②・一次関数①	二次方程式②・二次関数①
2学期期末	一次方程式②・比例・反比例	一次関数利用・角度	二次関数②・相似①
3学期学年末	平面図形・空間図形	図形の証明	総復習・相似②・三平方の定理

中3数学の1学期期末テスト予想問題

【問1】次の問いに答えなさい。
(1)大小2つのさいころを同時に投げるとき、出る目の数の和が6になる確率を求めなさい。

(2)3枚の硬貨を同時に投げるとき、少なくとも1枚は表となる 確率を求めなさい。

(3)1・2・3・4枚のカードがはいっている箱がある。この中からカードを続けて2枚取り出し、取り出した順に、左から並べて2けたの整数をつくるとき、その整数が4の倍数となる確率を求めなさい

(4)5本のうち、あたりが2本はいっているくじがある。このくじを、A,Bの2人がこの順に1本ずつひくとき、Bがあたりをひく確率を求めなさい。

【問2】次の（　　）にあてはまる最も適当なことばを答えなさい。ただし、ことばは、漢字ですべて書きなさい。
(1) 積の形で書かれた式を計算して、和の形で表すことを、もとの式を（　ア　）するという。

(2)整数がいくつかの整数の積の形で表されるとき、その 1つ1つを、もとの数の（　イ　）という。

(3)素数である因数を（　ウ　）といい、自然数を素数の積として表すことを、（　エ　）するという。

【問3】次の自然数を素因数分解しなさい。
(1) 18
(2) 48
(3) 216

【問4】次の式を計算しなさい。
(1) (x-3y-2)×(-3x)
(2) (x-4)(y+3)
(3) (3x-2y)(x-3y+4)
(4) (x+6)(x+4)
(5) (x-5y)(x+8y)
(6) (4a-2b)(4a+2b)

【問5】次の式を因数分解しなさい。
(1)9ｘ²-3ｘ
(2)ｘ²-7ｘ-18
(3)ｘ²-9ｘｙ+20ｙ²
(4)4ｘ²-20ｘｙ+25ｙ²
(5)9-ｘ²

【問6】連続する2つの奇数の積に1を足した数は、偶数の2乗になることを証明しなさい。

【問7】
次の図は、ある月のカレンダーです。9と16のように縦に並んだ数字について、上の数をa、下の数をbとするとき、6a²+b²は7の倍数になることをbをaを使った式で表して証明せよ。

中3数学の1学期期末テスト予想問題解答

【問1】
(1)5/36
(2)7/8
(3)1/4
(4)2/5

【問2】
(1)展開
(2)因数
(3)素因数/素因数分解

【問3】
(1)2×3²
(2)2⁴×3
(3)2³×3³

【問4】
(1)-3ｘ²+9ｘｙ+6ｘ
(2)ｘｙ+3ｘ-4ｙ-12
(3)3ｘ²-11ｘｙ+12ｘ+6ｙ²-8ｙ
(4)ｘ²+10ｘ+24
(5)ｘ²+3ｘｙ-40ｙ²
(6)10a²-4ｂ²

【問5】
(1)3ｘ(3ｘ-1)
(2)(ｘ+2)(ｘ-9)
(3)(x-4y)(x-5y)
(4)(2x-5y)²
(5)(3+x)(3-x)

【問6】
連続する2つの奇数は,整数nを使って、2n-1, 2n+1と表される。
それらの積に1をたした数は

(2n-1)(2n+1)+1
=4n²-1+1
=4n²
=(2n)²

したがって、連続する2つの奇数の積に1をたした数は、偶数の2乗になる。

【問7】
b=a+7と表されるから

6a²+b²
=6a²+(a+7)²
=6a²+a²+14a+49
=7a²+14a+49
=7(a²+2a+7)

a²+2a+7は整数だから、7(a²+2a+7)は 7の倍数である。
したがって、6a²+b²は7の倍数になる。